5 مورد مهم از خواص تبدیل لاپلاس برای انجام محاسبات در متلب

5 مورد مهم از خواص تبدیل لاپلاس برای انجام محاسبات در متلب

تبدیل لاپلاس یکی از تبدیلات انتگرالی بسیار پرکاربرد در ریاضیات محسوب می شود . همانطوری که قبلا در مورد تبدیل لاپلاس با هم مرور کاملی داشتیم و به بررسی محاسبه ی تبدیل لاپلاس برخی از توابع مهم پرداختیم ، در اینجا قصد داریم تعدادی از ویژگی ها و خواص تبدیل لاپلاس را با هم یاد بگیریم تا انجام محاسبات تبدیل لاپلاس چه به صورت ریاضی و چه با استفاده از نرم افزار متلب برایمان به سادگی صورت گیرد. پس در این پست ما 5 ویژگی از ویژگی های مهم تبدیل لاپلاس ،جهت محاسبه و به دست آوردن تبدیل لاپلاس برخی از سیگنال ها،را باهم مرور میکنیم و سپس همراه با مثال های مهم و کاربردی این ویژگی ها در نرم افزار متلب کاملا به این مبحث مسلط می شویم .

 

تبدیل لاپلاس دارای ویژگی ها و خواص بسیار متعددی می باشد که در اینجا به 5 مورد از این ویژگی ها و خواص می پردازیم :

 

خواص تبدیل لاپلاس : خاصیت اول : خطی بودن تبدیل لاپلاس :

خاصیت خطی بودن تبدیل لاپلاس به این صورت می باشد که :

اگر تبدیل لاپلاس دو سیگنال x_1(t)  وx_2(t)  رو به ترتیب با X_1(s)  و X_2(s) در نظر بگیریم ، سپس خاصیت خطی به صورت زیر تعریف می شود که  :

تبدیل لاپلاس از جمع دو تابع در حوزه ی زمان برابر با جمع تبدیل لاپلاس هرکدام از توابع به تنهایی .

خاصیت خطی بودن تبدیل لاپلاس رو به صورت ریاضی زیر نمایش می دهند :

خاصیت خطی تبدیل لاپلاس

در واقع رابطه ی ریاضی بالا بیانگر این است که مجموع لاپلاس از دو تابع دلخواه ، برابر با مجموع لاپلاس های این توابع به تنهایی خواهد شد .

*توجه کنید که در رابطه ی ریاضی بالا ، مقادیر  a_1  وa_2 ، مقادیر ثابت ودلخواهی هستند .

حتما بخوانید:  نایکوئیست در متلب : 1 روش ساده برای رسم نمودار نایکوئیست با استفاده از متلب

اثبات خاصیت خطی تبدیل لاپلاس :

برای اثبات خاصیت خطی تبدیل لاپلاس به صورت زیر باید عمل کنیم :

اثبات خاصیت خطی تبدیل لاپلاس

که پس از انجام محاسبات ریاضی و جایگذاری های مورد نظر در نهایت به فرمول کلی خاصیت خطی تبدیل لاپلاس که در بالا به آن اشاره کردیم ، خواهیم رسید.

 

 

خواص تبدیل لاپلاس : خاصیت دوم : جابه جایی زمانی (شیفت در حوزه زمان) تبدیل لاپلاس :

در اغلب مواقع ما یک تاخیر را در سیگنال برای سیستم های کنترلی ویا مخابراتی به خاطر تاخیر در انتقال و یا سایر تاثیرات و اتفاقات شاهد هستیم .

اگر X(s)  را تبدیل لاپلاس از سیگنال x(t)  در نظر بگیریم ، سپس شیفت زمانی و یا همان جابه جایی زمانی تبدیل لاپلاس به صورت زیر نمایش داده خواهد شد :

 

شیفت زمانی تبدیل لاپلاس

رابطه ی کلی برای محاسبه ی شیفت در حوزه ی زمان تبدیل لاپلاس رابطه ی بالا می باشد .

 

خواص تبدیل لاپلاس : خاصیت سوم : تغییر مقیاس زمانی تبدیل لاپلاس :

اگر X(s)  را تبدیل لاپلاس از سیگنال x(t)  در نظر بگیریم . و a را هر عدد مثبت حقیقی ثابت فرض کنیم . تبدیل لاپلاس از x(at)  به صورت زیر نمایش داده خواهد شد :

scaling,تغییر مقیاس زمانی تبدیل لاپلاس

اگر در این رابطه d lambda=at  و d lambda=a dt  را در نظر بگیریم و جایگذاری نماییم ، به رابطه ی زیر خواهیم رسید :

اثبات فرمول تغییر مقیاس زمانی تبدیل لاپلاس

 

که خاصیت تغییر مقیاس زمانی تبدیل لاپلاس در حالت کلی به صورت زیر نمایش داده خواهد شد :

خواص تبدیل لاپلاس

 

مثال از خاصیت تغییر مقیاس تبدیل لاپلاس در نرم افزار متلب :

به عنوان مثال کد متلب زیر را برای یادگیری بیشتر خاصیت تغییر مقیاسی تبدیل لاپلاس توجه کنید .

اگر به عنوان مثال ما تبدیل لاپلاس تابع r(t)  رو به صورت زیر در نظر بگیریم :

حتما بخوانید:  آموزش سیمولینک در برق به زبان ساده

r(t)=s

در نرم افزار متلب نیز تبدیل لاپلاس این تابع را به صورت زیر محاسبه میکنیم :

1
2
3
syms s
r = s;
laplace(r,s)

که در صورت اجرای کد بالا در نرم افزار متلب ، نتیجه به صورت زیر حاصل خواهد شد :

1
1/s^2

حال اگر عدد ثابتی مثل 2 را در نظر بگیریم که درr(t)  ضرب شده است ، تبدیل لاپلاس به صورت ریاضی زیر محاسبه خواهد شد :

تغییر مقیاس زمانی در متلب

و در نرم افزار متلب نیز در صورتی که از دستور لاپلاس استفاده کنیم ، نتیجه به صورت زیر حاصل خواهد شد :

1
2
3
syms s
r = 2*s;
laplace(r,s)

در صورت اجرای کد بالا در نرم افزار متلب ، نتیجه به صورت زیر حاصل خواهد شد :

1
2/s^2

خواص تبدیل لاپلاس : خاصیت چهارم : کانولوشن تبدیل لاپلاس :

اگر X(s)  و H(s) را تبدیل لاپلاس از سیگنال های x(t)  و h(t)در نظر بگیریم، سپس خاصیت کانولوشن تبدیل لاپلاس به صورت زیر نمایش داده خواهد شد :

خاصیت کانولوشن تبدیل لاپلاس

که در حوزه ی زمان خاصیت کانولوشن رو به این صورت نمایش می دهیم :

کانولوشن تبدیل لاپلاس

اثبات خاصیت کانولوشن در جوزه ی زمان : 

اگر تبدیل لاپلاس رو در هر دو طرف در نظر بگیریم، خواهیم داشت :

اثبات فرمول خاصیت کانولوشن تبدیل لاپلاس

اگر  lambda=t-tauرا فرض کنیم ، خواهیم داشت  t=tau+lambda و  dt = d lambda : که با جایگذاری در رابطه ی بالا ، نتیجه به صورت زیر به دست خواهد آمد :

اثبات کانولوشن لاپلاس

که در نهایت به همان رابطه ی کلی خاصیت کانولوشن برای تبدیل لاپلاس که در ابتدا اشاره کردیم خواهیم رسید.

پس در واقع تبدیل لاپلاس ازکانولوشن دوتابع در نهایت به ضرب لاپلاس این دو تابع خواهید انجامید .

 

خواص تبدیل لاپلاس : خاصیت پنجم : مشتق گیری در حوزه ی زمان برای تبدیل لاپلاس :

خاصیت مشتق گیری در حوزه ی زمان از جمله موارد بسیار مهم و کاربردی در حل معادلات مشتق دار می باشد . اگر X(s)  را تبدیل لاپلاس از سیگنال x(t)  در نظر بگیریم ، تبدیل لاپلاس از مشتق x(t) به صورت زیر نمایش داده می شود :

حتما بخوانید:  تبدیل فوریه گسسته در متلب : نحوه محاسبه تبدیل فوریه گسسته در متلب

مشتق گیری در حوزه زمان تبدیل لاپلاس

اگر از انتگرال گیری به روش جز به جز استفاده کنیم و فرضیاتمون به صورت زیر باشد :

مشتق حز به جز

در نهایت با جایگذاری و حل مشتق و انتگرال ، نتیجه به صورت زیر اثبات خواهد شد :

اثبات فرمول مشتق تبدیل لاپلاس

 

رابطه ی کلی برای محاسبه ی مشتق تبدیل لاپلاس در حوزه ی زمان به صورت زیر نمایش داده می شود :

 

مشتق تبدیل لاپلاس

این رابطه برای محاسبه ی تبدیل لاپلاس مشتق مرتبه ی اول می باشد . برای محاسبه ی تبدیل لاپلاس مشتق های مرتبه دوم ، سوم و … به همین روش که در بالا اشاره شد می توانیم استفاده کنیم و به رابطه ی محاسبه ی تبدیل لاپلاس برای این مشتق ها که از مرتبه ی بالاتر هستند برسیم .

 

در اینجا با هم 5 مورد از خواص تبدیل لاپلاس را با هم مرور کردیم. در پست های آینده سایت به بررسی ویژگی های دیگر و خواص دیگری از تبدیل لاپلاس خواهیم پرداخت که عبارت اند از:

  1. جابه جایی در حوزه ی s تبدیل لاپلاس
  2. مزدوج گیری تبدیل لاپلاس
  3. مشتق گیری در حوزه ی s تبدیل لاپلاس
  4. قضایای مقدار اولیه و مقداری نهایی
  5. انتگرال گیری در حوزه ی زمان تبدیل لاپلاس

و …

پس منتظر آموزش های دیگر ما در مبحث تبدیل لاپلاس و ویژگی ها و خواص مهم تبدیل لاپلاس همراه با مثال های مربوط به این مبحث در نرم افزار متلب باشید.

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *