تبدیل لاپلاس یکی از تبدیلات انتگرالی بسیار پرکاربرد در ریاضیات محسوب می شود . همانطوری که قبلا در مورد تبدیل لاپلاس با هم مرور کاملی داشتیم و به بررسی محاسبه ی تبدیل لاپلاس برخی از توابع مهم پرداختیم ، در اینجا قصد داریم تعدادی از ویژگی ها و خواص تبدیل لاپلاس را با هم یاد بگیریم تا انجام محاسبات تبدیل لاپلاس چه به صورت ریاضی و چه با استفاده از نرم افزار متلب برایمان به سادگی صورت گیرد. پس در این پست ما 5 ویژگی از ویژگی های مهم تبدیل لاپلاس ،جهت محاسبه و به دست آوردن تبدیل لاپلاس برخی از سیگنال ها،را باهم مرور میکنیم و سپس همراه با مثال های مهم و کاربردی این ویژگی ها در نرم افزار متلب کاملا به این مبحث مسلط می شویم .
تبدیل لاپلاس دارای ویژگی ها و خواص بسیار متعددی می باشد که در اینجا به 5 مورد از این ویژگی ها و خواص می پردازیم :
خواص تبدیل لاپلاس : خاصیت اول : خطی بودن تبدیل لاپلاس :
خاصیت خطی بودن تبدیل لاپلاس به این صورت می باشد که :
اگر تبدیل لاپلاس دو سیگنال [pmath size=17] x_1(t) [/pmath] و[pmath size=17] x_2(t) [/pmath] رو به ترتیب با [pmath size=17] X_1(s) [/pmath] و [pmath size=17] X_2(s) [/pmath] در نظر بگیریم ، سپس خاصیت خطی به صورت زیر تعریف می شود که :
تبدیل لاپلاس از جمع دو تابع در حوزه ی زمان برابر با جمع تبدیل لاپلاس هرکدام از توابع به تنهایی .
خاصیت خطی بودن تبدیل لاپلاس رو به صورت ریاضی زیر نمایش می دهند :
در واقع رابطه ی ریاضی بالا بیانگر این است که مجموع لاپلاس از دو تابع دلخواه ، برابر با مجموع لاپلاس های این توابع به تنهایی خواهد شد .
*توجه کنید که در رابطه ی ریاضی بالا ، مقادیر [pmath size=17] a_1 [/pmath] و[pmath size=17] a_2 [/pmath] ، مقادیر ثابت ودلخواهی هستند .
اثبات خاصیت خطی تبدیل لاپلاس :
برای اثبات خاصیت خطی تبدیل لاپلاس به صورت زیر باید عمل کنیم :
که پس از انجام محاسبات ریاضی و جایگذاری های مورد نظر در نهایت به فرمول کلی خاصیت خطی تبدیل لاپلاس که در بالا به آن اشاره کردیم ، خواهیم رسید.
خواص تبدیل لاپلاس : خاصیت دوم : جابه جایی زمانی (شیفت در حوزه زمان) تبدیل لاپلاس :
در اغلب مواقع ما یک تاخیر را در سیگنال برای سیستم های کنترلی ویا مخابراتی به خاطر تاخیر در انتقال و یا سایر تاثیرات و اتفاقات شاهد هستیم .
اگر [pmath size=17] X(s) [/pmath] را تبدیل لاپلاس از سیگنال [pmath size=17] x(t) [/pmath] در نظر بگیریم ، سپس شیفت زمانی و یا همان جابه جایی زمانی تبدیل لاپلاس به صورت زیر نمایش داده خواهد شد :
رابطه ی کلی برای محاسبه ی شیفت در حوزه ی زمان تبدیل لاپلاس رابطه ی بالا می باشد .
خواص تبدیل لاپلاس : خاصیت سوم : تغییر مقیاس زمانی تبدیل لاپلاس :
اگر [pmath size=17] X(s) [/pmath] را تبدیل لاپلاس از سیگنال [pmath size=17] x(t) [/pmath] در نظر بگیریم . و a را هر عدد مثبت حقیقی ثابت فرض کنیم . تبدیل لاپلاس از [pmath size=17] x(at) [/pmath] به صورت زیر نمایش داده خواهد شد :
اگر در این رابطه [pmath size=17] d lambda=at [/pmath] و [pmath size=17] d lambda=a dt [/pmath] را در نظر بگیریم و جایگذاری نماییم ، به رابطه ی زیر خواهیم رسید :
که خاصیت تغییر مقیاس زمانی تبدیل لاپلاس در حالت کلی به صورت زیر نمایش داده خواهد شد :
مثال از خاصیت تغییر مقیاس تبدیل لاپلاس در نرم افزار متلب :
به عنوان مثال کد متلب زیر را برای یادگیری بیشتر خاصیت تغییر مقیاسی تبدیل لاپلاس توجه کنید .
اگر به عنوان مثال ما تبدیل لاپلاس تابع [pmath size=17]r(t) [/pmath] رو به صورت زیر در نظر بگیریم :
[pmath size=17]r(t)=s [/pmath]
در نرم افزار متلب نیز تبدیل لاپلاس این تابع را به صورت زیر محاسبه میکنیم :
1 2 3 | syms s r = s; laplace(r,s) |
که در صورت اجرای کد بالا در نرم افزار متلب ، نتیجه به صورت زیر حاصل خواهد شد :
1 | 1/s^2 |
حال اگر عدد ثابتی مثل 2 را در نظر بگیریم که در[pmath size=17]r(t) [/pmath] ضرب شده است ، تبدیل لاپلاس به صورت ریاضی زیر محاسبه خواهد شد :
و در نرم افزار متلب نیز در صورتی که از دستور لاپلاس استفاده کنیم ، نتیجه به صورت زیر حاصل خواهد شد :
1 2 3 | syms s r = 2*s; laplace(r,s) |
در صورت اجرای کد بالا در نرم افزار متلب ، نتیجه به صورت زیر حاصل خواهد شد :
1 | 2/s^2 |
خواص تبدیل لاپلاس : خاصیت چهارم : کانولوشن تبدیل لاپلاس :
اگر [pmath size=17] X(s) [/pmath] و [pmath size=17] H(s) [/pmath] را تبدیل لاپلاس از سیگنال های [pmath size=17] x(t) [/pmath] و [pmath size=17] h(t) [/pmath]در نظر بگیریم، سپس خاصیت کانولوشن تبدیل لاپلاس به صورت زیر نمایش داده خواهد شد :
که در حوزه ی زمان خاصیت کانولوشن رو به این صورت نمایش می دهیم :
اثبات خاصیت کانولوشن در جوزه ی زمان :
اگر تبدیل لاپلاس رو در هر دو طرف در نظر بگیریم، خواهیم داشت :
اگر [pmath size=17] lambda=t-tau [/pmath]را فرض کنیم ، خواهیم داشت [pmath size=17] t=tau+lambda [/pmath] و [pmath size=17] dt = d lambda [/pmath] : که با جایگذاری در رابطه ی بالا ، نتیجه به صورت زیر به دست خواهد آمد :
که در نهایت به همان رابطه ی کلی خاصیت کانولوشن برای تبدیل لاپلاس که در ابتدا اشاره کردیم خواهیم رسید.
پس در واقع تبدیل لاپلاس ازکانولوشن دوتابع در نهایت به ضرب لاپلاس این دو تابع خواهید انجامید .
خواص تبدیل لاپلاس : خاصیت پنجم : مشتق گیری در حوزه ی زمان برای تبدیل لاپلاس :
خاصیت مشتق گیری در حوزه ی زمان از جمله موارد بسیار مهم و کاربردی در حل معادلات مشتق دار می باشد . اگر [pmath size=17] X(s) [/pmath] را تبدیل لاپلاس از سیگنال [pmath size=17] x(t) [/pmath] در نظر بگیریم ، تبدیل لاپلاس از مشتق [pmath size=17] x(t) [/pmath] به صورت زیر نمایش داده می شود :
اگر از انتگرال گیری به روش جز به جز استفاده کنیم و فرضیاتمون به صورت زیر باشد :
در نهایت با جایگذاری و حل مشتق و انتگرال ، نتیجه به صورت زیر اثبات خواهد شد :
رابطه ی کلی برای محاسبه ی مشتق تبدیل لاپلاس در حوزه ی زمان به صورت زیر نمایش داده می شود :
این رابطه برای محاسبه ی تبدیل لاپلاس مشتق مرتبه ی اول می باشد . برای محاسبه ی تبدیل لاپلاس مشتق های مرتبه دوم ، سوم و … به همین روش که در بالا اشاره شد می توانیم استفاده کنیم و به رابطه ی محاسبه ی تبدیل لاپلاس برای این مشتق ها که از مرتبه ی بالاتر هستند برسیم .
در اینجا با هم 5 مورد از خواص تبدیل لاپلاس را با هم مرور کردیم. در پست های آینده سایت به بررسی ویژگی های دیگر و خواص دیگری از تبدیل لاپلاس خواهیم پرداخت که عبارت اند از:
- جابه جایی در حوزه ی s تبدیل لاپلاس
- مزدوج گیری تبدیل لاپلاس
- مشتق گیری در حوزه ی s تبدیل لاپلاس
- قضایای مقدار اولیه و مقداری نهایی
- انتگرال گیری در حوزه ی زمان تبدیل لاپلاس
و …
پس منتظر آموزش های دیگر ما در مبحث تبدیل لاپلاس و ویژگی ها و خواص مهم تبدیل لاپلاس همراه با مثال های مربوط به این مبحث در نرم افزار متلب باشید.