روابط بین نسبت های مثلثاتی : 8 رابطه که برای دانش آموزان پایه دهم واجب است!

روابط بین نسبت های مثلثاتی : 8 رابطه که برای دانش آموزان پایه دهم واجب است!

مطابق با روند آموزش نکات مهم ریاضی پایه دهم ، و همچنین در ادامه ی گفتار قبل که در مورد آموزش دایره مثلثاتی ، در این پست قصد داریم به آموزش روابط بین نسبت های مثلثاتی بپردازیم.

 

اولین گام از آموزش روابط بین نسبت های مثلثاتی

جالب است بدانید بین نسبت های مثلثاتی روابط زیبایی برقرار است که در این گفتار، یعنی آموزش روابط بین نسبت های مثلثاتی ، به این روابط می پردازیم. همانطور که در قسمت قبل دیدیم در دایره مثلثاتی داریم:

روابط بین نسبت های مثلثاتی

از طرفی طبق رابطه فیثاغورس داریم:

رابطه فیثاغورس

اگر در این رابطه بجای x و y ، \( \Large cos \theta , sin \theta \) را جایگذاری کنیم خواهیم داشت :

رابطه فیثاغورث روابط بین نسبت های مثلثاتی

این رابطه یکی از مهمترین روابط بین نسبت های مثلثاتی محسوب می شود. که به ازای هر مقدار \( \Large \theta \) برقرار است. مثلاً:

مثال از روابط بین نسبت های مثلثاتی

حال از این رابطه دو رابطه مهم دیگر نتیجه می شود که به روابط طلایی معروف هستند:

نسبتهای طلایی در روابط بین نسبت های مثلثاتی

که از روی این روابط می توان هرگاه یکی از نسبت های \( \Large sin \theta \) یا \( \Large cos \theta \) را داشته باشیم و دیگری را بخواهیم، به راحتی بدست بیاوریم.

 

روابط بین نسبت های مثلثاتی

از طرف دیگر می دانیم که \( \Large tan \theta=\frac{y}{x} \) و \( \Large cot \theta= \frac{x}{y} \) است. با جایگذاری \( \Large sin \theta\) و \( \Large cos \theta\) به جای x و y به روابط زیر می رسیم:

حتما بخوانید:  آموزش ریشه گیری در ریاضی دهم : از ریشه یاد بگیرید!

روابط بین نسبت های مثلثاتی

همانطور که میبینید \( \Large tan \theta \) و \( \Large cot \theta \) معکوس یکدیگرند. پس داریم:

تانژانت و کتانژانت

حال اگر \( \Large tan \theta \) را داشته باشیم و بخواهیم \( \Large cos \theta \) را بدست بیاوریم از رابطه زیر استفاده میکنیم:

رابطه بین تانژانت و کسینوس

اثبات:

اثبات روابط بین نسبت های مثلثاتی

که با این رابطه اگر \( \Large tan^2 \theta \)  را داشته باشیم، می توان \( \Large cos \theta \) را بدست آورد.

 

مثال: اگر \( \Large tan \theta =1 \) و \( \Large \theta\) در ربع سوم باشد، سایر نسبت های مثلثاتی را بدست آورید:

مثال از روابط بین نسبت های مثلثاتی

 

روابط بین نسبت های مثلثاتی

 

پس جواب منفی قابل قبول است.

حال با استفاده از \( \Large cos \theta \) و \( \Large sin \theta \) را بدست می آوریم:

روابط بین نسبت های مثلثاتی

رابطه بین سینوس و کتانژانت در نسبت های مثلثاتی

 

رابطه سینوس و کتانژانت در روابط بین نسبت های مثلثاتی

از این رابطه می توان وقتی استفاده کرد که \( \Large cot \theta \) را داریم و مقدار \( \Large sin \theta \) را بخواهیم.

 

8 رابطه مهم و اصلی مثلثات پایه دهم از روابط بین نسبت های مثلثاتی

 

8 مورد مهم از روابط بین نسبت های مثلثاتی

اتحاد های مثلثاتی

با از استفاده از هشت رابطه مهم مثلثاتی که هر دانش آموز پایه دهم باید بداند ، میتوان روابط دیگر مثلثاتی را اثبات کرد که به اتحادهای مثلثاتی معروف هستند.

حتما بخوانید:  آموزش ریاضی پایه دهم آموزش دایره مثلثاتی و کاربرد آن

منظور از اتحادهای مثلثاتی این است که رابطه ای که دو طرفش به ازای هر مقدار \( \Large \theta \) برقرار باشد.

برای اثبات اتحادهای مثلثاتی از یک طرف شروع میکنیم و با استفاده از روابط بالا و قوانین ریاضی مانند جمع و ضرب و اتحادهای جبری به طرف دیگر می رسیم.

تشخیص اینکه از کدام طرف به طرف دیگر برسیم با ماست. گاهی از دو طرف به راحتی به طرف دیگر می توان رسید. اما گاهی یک طرف ساده تر است.

 

مثال

درستی رابطه زیر را بررسی کنید.

مثال از اتحاد های مثلثاتی

در این مثال راحت تر است که از طرف اول به طرف دوم برسی. با استفاده از تجزیه به روش اتحاد مزدوج استفاده می کنیم:

نمونه سوال از روابط بین نسبت های مثلثاتی

می بینید که در انتها به طرف دوم رسیدیم.

 

مثال

درستی رابطه زیر را بررسی کنید.

نمونه سوال از روابط بین نسبت های مثلثاتی

در این مثال به راحتی از هر طرف می توان به طرف دیگر رسید:

نمونه سوال از روابط بین نسبت های مثلثاتی

30 دیدگاه در “روابط بین نسبت های مثلثاتی : 8 رابطه که برای دانش آموزان پایه دهم واجب است!

پاسخی بگذارید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *

این سایت از اکیسمت برای کاهش هرزنامه استفاده می کند. بیاموزید که چگونه اطلاعات دیدگاه های شما پردازش می‌شوند.