مطابق با روند آموزش نکات مهم ریاضی پایه دهم ، و همچنین در ادامه ی گفتار قبل که در مورد آموزش دایره مثلثاتی ، در این پست قصد داریم به آموزش روابط بین نسبت های مثلثاتی بپردازیم.
اولین گام از آموزش روابط بین نسبت های مثلثاتی
جالب است بدانید بین نسبت های مثلثاتی روابط زیبایی برقرار است که در این گفتار، یعنی آموزش روابط بین نسبت های مثلثاتی ، به این روابط می پردازیم. همانطور که در قسمت قبل دیدیم در دایره مثلثاتی داریم:
از طرفی طبق رابطه فیثاغورس داریم:
اگر در این رابطه بجای x و y ، \( \Large cos \theta , sin \theta \) را جایگذاری کنیم خواهیم داشت :
این رابطه یکی از مهمترین روابط بین نسبت های مثلثاتی محسوب می شود. که به ازای هر مقدار \( \Large \theta \) برقرار است. مثلاً:
حال از این رابطه دو رابطه مهم دیگر نتیجه می شود که به روابط طلایی معروف هستند:
که از روی این روابط می توان هرگاه یکی از نسبت های \( \Large sin \theta \) یا \( \Large cos \theta \) را داشته باشیم و دیگری را بخواهیم، به راحتی بدست بیاوریم.
روابط بین نسبت های مثلثاتی
از طرف دیگر می دانیم که \( \Large tan \theta=\frac{y}{x} \) و \( \Large cot \theta= \frac{x}{y} \) است. با جایگذاری \( \Large sin \theta\) و \( \Large cos \theta\) به جای x و y به روابط زیر می رسیم:
همانطور که میبینید \( \Large tan \theta \) و \( \Large cot \theta \) معکوس یکدیگرند. پس داریم:
حال اگر \( \Large tan \theta \) را داشته باشیم و بخواهیم \( \Large cos \theta \) را بدست بیاوریم از رابطه زیر استفاده میکنیم:
اثبات:
که با این رابطه اگر \( \Large tan^2 \theta \) را داشته باشیم، می توان \( \Large cos \theta \) را بدست آورد.
مثال: اگر \( \Large tan \theta =1 \) و \( \Large \theta\) در ربع سوم باشد، سایر نسبت های مثلثاتی را بدست آورید:
پس جواب منفی قابل قبول است.
حال با استفاده از \( \Large cos \theta \) و \( \Large sin \theta \) را بدست می آوریم:
رابطه بین سینوس و کتانژانت در نسبت های مثلثاتی
از این رابطه می توان وقتی استفاده کرد که \( \Large cot \theta \) را داریم و مقدار \( \Large sin \theta \) را بخواهیم.
8 رابطه مهم و اصلی مثلثات پایه دهم از روابط بین نسبت های مثلثاتی
اتحاد های مثلثاتی
با از استفاده از هشت رابطه مهم مثلثاتی که هر دانش آموز پایه دهم باید بداند ، میتوان روابط دیگر مثلثاتی را اثبات کرد که به اتحادهای مثلثاتی معروف هستند.
منظور از اتحادهای مثلثاتی این است که رابطه ای که دو طرفش به ازای هر مقدار \( \Large \theta \) برقرار باشد.
برای اثبات اتحادهای مثلثاتی از یک طرف شروع میکنیم و با استفاده از روابط بالا و قوانین ریاضی مانند جمع و ضرب و اتحادهای جبری به طرف دیگر می رسیم.
تشخیص اینکه از کدام طرف به طرف دیگر برسیم با ماست. گاهی از دو طرف به راحتی به طرف دیگر می توان رسید. اما گاهی یک طرف ساده تر است.
مثال
درستی رابطه زیر را بررسی کنید.
در این مثال راحت تر است که از طرف اول به طرف دوم برسی. با استفاده از تجزیه به روش اتحاد مزدوج استفاده می کنیم:
می بینید که در انتها به طرف دوم رسیدیم.
مثال
درستی رابطه زیر را بررسی کنید.
در این مثال به راحتی از هر طرف می توان به طرف دیگر رسید:
عاللیییییی
لطف دارید شما بزرگوار
مرسی .بسیار کاربردی بود
خواهش میکنم بزرگوار. خوشحالیم که براتون مفید بوده.
موفق و پیروز باشید.
واقعاً عالی بود
” زکات علم در یاد دادن آن است ”
ممنون
با عرض سلام و احترام
بسیار خرسندیم که براتون مفید واقع شده دوست عزیز
موفق و پیروز باشید
واقعا توضیحات مفیدی بود ممنون
عرض سلام و احترام
خوشحالیم که براتون مفید بوده. موفق و پیروز باشید
سلام بی زحمت اثبات رابطه تانژانت آلفا از تقسیم sin بر cos آلفا رو از روی دایره مثلثاتی بزارید
ضمن عرض سلام و وقت بخیر
مطلبی که میفرمایید در داخل متن توضیح داده شده است. به اولین دایره مثلثاتی رسم شده دقت بفرمایید.
بسیار عالی دست شما درد نکند
خواهش میکنم دوست عزیز. خوشحالیم که براتون مفید بوده
عالی بود ممنون
سلام بزرگوار. نظر لطف شماست.
سلام.آموزشتون فوق العاده بود،تا حالا ندیده بودم هیچ وقت ریاضی اینطور برام جذاب نبوده.ممنونم از آموزش عالی تون.
عرض سلام و احترام خدمت شما
مسلماً چنین بازخوردی از جانب شما هم برای ما افتخار است و هم باعث گرفتن انرژی مضاعف برای ادامه کار خواهد شد.
موفق و پیروز باشید
سلام خدمت شما
شما منبعی اموزشی راجع به مثلثات کروی سراغ ندارید؟ ممنون میشوم راهنمایی بفرمایید
ضمن عرض سلام و احترام. نه متاسفانه منبعی نمیشناسیم. اگر منبع مناسبی پیدا کردید، به ماهم بفرمایید تا برای دوستان معرفی کنیم. تشکر
حرف نداشت
احسنت
خواهش میکنم دوست عزیز
خوشحالیم که براتون مفیده بوده
موفق و پیروز باشید
احسنت استفاده کردیم
ضمن عرض سلام
خوشحالیم که براتون مفید بوده
موفق و پیروز باشید
سپاسگزارم آموزش بسیار مفید با روشی عالی بود
خوشحالیم که مفید واقع شده
موفق و پیروز باشید
سلام علیکم بسیار عالی بود دستتان درد نکند ببخشید میشود اینطور اثبات ها هم بگذارید و اموزش بدید منظورم از این نوع که میگه👈 مثلا دو به روی سینوس به توان دو الفا به اضافه ۱ به روی کسینوس به توان چهار الفا بعد مساوی گذاشته و گفته حاصل باید یک منهای کتانژانت به توان ۴ الفا باشد ! … یا مثلا گفته یه سوالی حاصل را به صورت مربع یک عبارت مثلثاتی بنویسید بعد گفته تانژانت به توان ۲ الفا به علاوه کتانژانت به توان ۲ الفا به علاوه ۲ منهای ۲ به روی سینوس الفا ضرب در کسینوس الفا … یا پیچیده تر از این شرمنده اگه اذیتتون میکنم نمیدونم متوجه شدید یا نه سرتون هم که درد اوردم شرمنده … حالا امکانش هست یا میشه از این نوع مدل هم قرار بدید و یه توضیح بدید خیلی ممنون میشم لطفا !!!… واقعا مشکل دارم متشکرم … بازم ممنونم از اطلاعات خوب تون امید پیدا کردم به خودم واقعا❤ ممنون میشم کمکم کنید ؟… یا حداقل اگه میشناسید. جایی رو مراجعه کنم؟ 🙁 .. باتشکر
سلام عرض شد
وقتتون بخیر
خوشحالیم که ما رو دنبال میکنید
اینها اتحادهای مثلثاتی هستند که با استفاده از ۸ رابطه ای که در این پست آموختید و کمی صرف وقت بیشتر میتوانید آنها را اثبات کنید.
با آموزش عالیتون
اثبات کردین که ریاضی واقعا شرینه
ضمن عرض سلام و احترام
چنین نظری برای ما باعث افتخار هست. به داشتن مخاطبینی چون شما افتخار میکنیم
پیروز و پاینده باشید
درود برشما وسپاس فراوان بابت مطلب گرانبها
ضمن عرض سلام
بزرگوارید. خوشحالیم که براتون مفید واقع شده
من که ریاضی یاد نمیگرفتم به راحتی اب خوردن اینو فهمیدم دمت گرم
سلام به شما دوست عزیز
این از لطف شماست
نظرات دوستانی مثل شما رو که میبینم انگیزه بیشتری میگیریم برای پروژه جدیدمون برای آموزش ریاضیات. به زودی…
سلام و خداقوت. خیلی ممنون واقعا مفید بود
ضمن عرض سلام و احترام
خدا رو شکر که براتون مفید بوده . موفق و پیروز باشید