تبدیل فوریه گسسته در متلب : نحوه محاسبه تبدیل فوریه گسسته در متلب

تبدیل فوریه گسسته در متلب : نحوه محاسبه تبدیل فوریه گسسته در متلب

در سلسله مراتب آموزش درس اصول سیستم های مخابراتی با استفاده از متلب و پس از آموزش های مربوط به سری فوریه وسیگنال های مورد نیاز در سیستم های مخابراتی و تبدیل فوریه مقدماتی ؛ اکنون به صورت پیشرفته در مورد تبدیل فوریه گسسته در زمان و نحوه ی کد نویسی تبدیل فوریه گسسته در متلب را با هم مرور میکنیم .

گام اول در تبدیل فوریه گسسته در متلب : بررسی سری فوریه گسسته در زمان :

در مورد سری فوریه گسسته در زمان در پست های قبل مطالبی را با هم مرور کردیم ؛ فهمیدیم که سری فوریه گسسته در زمان برای سیستم LTI فرمولی به صورت زیر دارد :

تبدیل فوریه گسسته در متلب

 

در مورد نحوه ی محاسبه ی ضرایب سری فوریه پیوسته نیز در پست محاسبه ضرایب سری فوریه مطالبی را با هم مرور داشتیم .

 

گام دوم در تبدیل فوریه گسسته در متلب : محاسبه تبدیل فوریه گسسته در زمان :

تبدیل فوریه گسسته در زمان : 

از فرمول زیر برای محاسبه ی تبدیل فوریه گسسته در زمان به صورت ریاضی می توانیم استفاده کنیم :

تبدیل فوریه گسسته در متلب

 

معکوس تبدیل فوریه گسسته در زمان :

اگر بخواهیم با استفاده از تبدیل فوریه ی گسسته ی یک سیگنال به خود سیگنال برسیم ، باید از فرمول معکوس تبدیل فوریه ی گسسته استفاده کنیم .

فرمول معکوس تبدیل فوریه ی گسسته در زمان به صورت زیر می باشد :

حتما بخوانید:  رسم سیگنال های پیوسته و گسسته در نرم افزار متلب

تبدیل فوریه گسسته در متلب

فرمول معکوس تبدیل فوریه ی گسسته در زمان برای  \( \Large n =0,1,2,…,N-1  \) می باشد .

 

در حالت کلی تبدیل فوریه ی گسسته \( \Large X[m]  \) به صورت عدد مختلط می باشد . می توان به صورت زیر نیز این تبدیل را بیان کرد :

تبدیل فوریه گسسته

گام آخر : محاسبه تبدیل فوریه گسسته در متلب :

همانطور که در بالا داشتیم ، برای محاسبه ی تبدیل فوریه گسسته بایستی از فرمول مورد نظر این تبدیل استفاده کرد و تابع را از حوزه ی زمان به حوزه ی فرکانس تبدیل کرد .

حال می خواهیم به نحوه ی محاسبه ی تبدیل فوریه گسسته در نرم افزار متلب بپردازیم :

 

با مثال هایی مقدماتی و پیشرفته از نحوه کد نویسی تبدیل فوریه گسسته در متلب آغاز می کنیم .

مثال 1 :

اگر برداری به صورت \( \Large x = [1 , 2 , 4 , 8 , 10]  \) را داشته باشیم ؛ تبدیل فوریه ی این بردار را  در نرم افزار متلب محاسبه نمایید .

جواب مثال 1 : 

برای محاسبه ی تبدیل فوریه ی بردار x در نرم افزار متلب به صورت زیر کد نویسی را انجام می دهیم :

1
2
3
4
clc
clear all
x = [1 2 4 8 10];
X = fft(x);

پس از اجرای کد بالا در نرم افزار متلب ، حاصل تبدیل فوریه به صورت بردار X محاسبه خواهد شد .

نتیجه به صورت زیر است :

حتما بخوانید:  محاسبه انرژی و توان سیگنال ها در متلب

تبدیل فوریه گسسته در متلب

* i که پس از اجرای کد متلب بالا در نرم افزار در کنار اعداد نشان داده شده است ، در واقع نشان دهنده j (قسمت موهومی عدد مختلط) می باشد .

مثال 2 :

تابعی  گسسته را با مقادیر \( \Large x[0]=1 ; x[1]=3 ; x[2]=5 ; x[3]=7 \)

و  \( \Large x[n]=0\) برای مقادیر دیگر n ؛

در نظر بگیرید .

کد تبدیل فوریه گسسته این تابع را در نرم افزار متلب محاسبه نمایید .

جواب مثال 2 :

برای محاسبه ی  تبدیل فوریه تابع \( \Large x[n] \)  بایستی در نرم افزار متلب به صورت زیر عمل می کنیم :

1
2
3
4
clc
clear all
xn = [1 3 5 7];
Xm = fft(xn);

در صورت اجرای کد بالا در نرم افزار متلب ، نتیحه محاسبه تبدیل فوریه به صورت زیر حاصل خواهد شد :

تبدیل فوریه

 

در صورتی که بخواهیم معکوس تبدیل فوریه ی گسسته را در نرم افزار متلب محاسبه کنیم باید به صورت مثال زیر عمل کنیم :

مثال 3 :

از طریق محاسبه ی معکوس تبدیل فوریه ی گسسته ی مثال 2 ؛

یعنی \( \Large X[m] \)، تابع \( \Large x[n] \) را به دست آورید.

جواب مثال 3 :

مقادیر \( \Large X[m] \) را داریم ؛ کافی است به صورت زیر در نرم افزار متلب کدنویسی را انجام دهیم ، تا از طریق معکوس گیری از این تابع به تابع اصلی \( \Large x[n] \) برسیم .

پس از اجرای این کد در نرم افزار متلب ، تابع \( \Large x[n] \) به صورت زیر به دست خواهد آمد :

تبدیل فوریه گسسته

که همان تابع \( \Large x[n] \) مورد نظر در مثال 2 می باشد .

مثال 4 : 

تابعی با مقادیر

تبدیل فوریه گسسته

را در نظر بگیرید ؛

تبدیل فوریه ی این تابع را رسم کرده و سپس تبدیل فوریه ی تابع را در نرم افزار متلب رسم نمایید .

جواب مثال 4 :

برای محاسبه ی تبدیل فوریه ی این تابع گسسته به صورت زیر در نرم افزار متلب کد نویسی می کنیم :

1
2
3
4
5
clc
clear all
fn = [1 1 1 1 -1 -1 -1 -1];
Fm = fft(fn);
stem(abs(fft(fn)));

در صورتی که کد بالا را در نرم افزار متلب اجرا نماییم ، حاصل تبدیل فوریه به صورت زیر خواهد بود :

تبدیل فوریه

و چون از دستور stem برای رسم تبدیل فوریه ی این تابع در نرم افزار متلب استفاده کرده ایم . نموداری به صورت زیر را نمایش خواهد داد :

نمودار تبدیل فوریه گسسته

 

در این جلسه به بررسی مقدماتی و پیشرفته ی تبدیل فوریه گسسته در متلب پرداختیم ؛ در جلسات آینده نیز با آموزش های اصول سیستم های مخابراتی همراه ما باشید .

پاسخی بگذارید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *

این سایت از اکیسمت برای کاهش هرزنامه استفاده می کند. بیاموزید که چگونه اطلاعات دیدگاه های شما پردازش می‌شوند.