آموزش کامل سری فوریه با متلب 2017

آموزش کامل سری فوریه با متلب 2017

مقدمه :

با توجه به اهمیت بسیار زیاد سری فوریه برای دانشجویان رشته های فنی مهندسی تصمیم داریم در این پست آموزش کامل سری فوریه با متلب 2017 را خدمت شما عزیزان ارائه دهیم. برای دروسی مانند ریاضیات مهندسی ، سیگنال ها و سیستمها ، اصول سیستم های مخابراتی و …، سری فوریه و تبدیل فوریه از بخش های بسیار مهم می باشند.

دانشجو باید با تسلط به سری فوریه و تبدیل فوریه بتواند شبیه سازی های این مباحث را در نرم افزار متلب اجرا نماید. در این پست و پست های آینده سایت قصد داریم که سری فوریه و تبدیل فوریه را به راحت ترین و کارآمد ترین روش ممکن بیان کنیم و سپس به بررسی سری فوریه و تبدیل فوریه و همچنین رسم سری فوریه با متلب در نرم افزار متلب 2017 (MATLAB 2017) بپردازیم.

اولین گام در آموزش کامل سری فوریه با متلب 2017 : سری فوریه چیست؟

قبل از اینکه به فرمول های سری فوریه بپردازیم ، در ابتدا با تعریفی از سری فوریه شروع می کنیم  :

سری فوریه بسطی است که هر تابع متناوب را به صورت حاصل جمع تعدادی نامتناهی از توابع نوسانی ساده (سینوسی، کسینوسی یا تابع نمایی مختلط ) بیان می‌کند. (در ادامه ویژگی های مهم توابع متناوب را به طور کامل توضیح خواهیم داد)

این تابع به نام ریاضیدان بزرگ فرانسوی،بارون ژوزف فوریه نامگذاری شده است.

با بسط هر تابع به صورت سری فوریه، مولفه های بسامدی (فرکانسی) آن تابع به دست می آید.

دومین گام در آموزش کامل سری فوریه با متلب 2017 : سری فوریه در سیستم LTI :

حال بحث سری فوریه را با یک سیستم خطی تغییرناپذیر با زمان (LTI) شروع میکنیم :

حتما بخوانید:  آموزش کانولوشن به زبان ساده در متلب

LTI Systems

رابطه ی ورودی – خروجی سیستم خطی تغییر ناپذیر بازمان (LTI) توسط کانولوشن به صورت زیر به دست می آید :

y(t)=x( t)*h( t)

  =int{n=-infty}{+infty}x(tau)*h( t- tau)d tau

که در رابطه ی بالا  (h(t نشان دهنده ی پاسخ ضربه ی سیستم ، (x(t سیگنال ورودی و (y(t سیگنال خروجی می باشد.

درنرم افزار متلب 2017 برای به دست آوردن پاسخ ضربه ی سیستم باید به صورت مثال زیر عمل کنیم :

مثال :

برای تابع تبدیل زمان پیوسته زیر پاسخ ضربه ی سیستم را محاسبه کنید.

B = (2+s)/(s^2+4s+2)

در این تابع برای به دست آوردن پاسخ ضربه در ابتدا باید تابع تبدیل را مشخص کنیم:

میدانیم که تابع تبدیل خطی برای یک تابع با ورودی (x(t و خروجی (y(t به صورت زیر بیان می شود :

H(s)=(Y(s) )/ (X(s))

درنرم افزار متلب 2017 برای به دست آوردن تابع تبدیل خطی کافی است که از دستور (tf(num,den به صورت زیر استفاده کنیم :

درحالی که num آرایه ای است که ضرایب صورت کسر و den آرایه ای است که ضرایب مخرج کسر تابع تبدیل را بیان می کند.

Impulse F

نمودار مورد نظر برای این تابع تبدیل به صورت زیر به دست خواهد آمد :

 Impulse Response

*دستور (tf(num,den در واقع تابع تبدیل را نمایش خواهد داد.

سومین گام در آموزش کامل سری فوریه با متلب 2017 : سری فوریه تابع نمایی مختلط :

همانطور که در ابتدا اشاره شد سری فوریه حاصل جمع تعداد نامتناهی از توابع نوسانی ساده است ، حال به بررسی تابع ساده ای مانند تابع نمایی مختلط به عنوان ورودی سیستم می پردازیم ؛ اگر برای (x(t داشته باشیم :

x(t)=Aexp^(j2pi)

در این صورت خروجی سیستم به صورت زیر به دست می آید:

حتما بخوانید:  7 ویژگی سیستم های مخابراتی که لازم است بدانید ! همراه با کد متلب

y(t)=int{-infty}{+infty}h(tau)A e^ ( j2pif_0( t-tau)) d tau]

 

   = A[int{-infty}{+infty}h(tau) e^ ( -j2pif_0tau) d tau]e^( j2pif_0t)

از رابطه ی به دست آمده می توان نتیجه گرفت که خروجی ، یک تابع نمایی مختلط با همان فرکانس ورودی است ؛ هرچند دامنه (مختلط ) خروجی ، همان دامنه ی (مختلط ) ورودی است که به مقدار زیر تقویت شده است:

   int{-infty}{+infty}h(tau) e^ ( -j2pif_0tau) d tau

مقدار فوق تابعی از پاسخ ضربه ی سیستم h(t)، LTI ، و فرکانس سیگنال ورودی ، f ، است.

به دلیل اینکه محاسبه ی پاسخ سیستم های LTI به ویژه برای ورودی های نمایی کار ساده ای میباشد در نتیجه برای تحلیل سیستم های خطی به دنبال روش هایی هستیم که بسط سیگنال ها به صورت جمع مقادیر نمایی مختلط باشد ؛

سری فوریه و تبدیل های فوریه روش هایی برای بسط سیگنال ها برحسب توابع نمایی مختلط هستند.

در واقع با این فرض به سری فوریه و در جلسات آتی به تبدیل فوریه می پردازیم که هر سیگنال مجموع وزن داری از نمایی های مختلط می باشد.

قبل از اینکه به رابطه زیر بپردازیم تعریفی از سیگنال متناوب را بیان میکنیم :

سیگنال متناوب :

سیگنال متناوب ، سیگنالی است که فقط شامل فرکانس هایی میباشد که مضرب صحیحی از فرکانس پایه هستند.

مثالی در رابطه با موج پالسی که متناوب است را با نرم افزار متلب 2017 به صورت زیر شبیه سازی میکنیم :

*برای نوشتن کد موج پالسی باید از دستور العمل (gensig(pulse استفاده کنیم.

Pulse and gensig

و نمودار این مثال به صورت زیر رسم خواهد شد :

Pulse T

 

برای پیدا کردن تمامی توابع متناوب با دوره ی تناوب مشخص از gensig به صورتی که در بالا ذکر شد استفاده میکنیم و فرمول کلی این روش به صورت زیر می باشد:

حتما بخوانید:  9 سیستم از سیستم های مخابراتی که هر دانشجوی برق باید بداند

 [u,t] = gensig(type,T)

که برای type یعنی نوع تابع ،کد pulse برای موج پالسی

کد sin برای موج سینوسی

کد square برای موج مربعی را جایگزین خواهیم نمود

و Tدوره ی تناوب تابع را مشخص می نماید.

سری فوریه نمایی

سری فوریه بسطی از سیگنال های متناوب با دوره ی تناوب T است که به صورت زیر بیان می شود :

x(t) = sum {n=-infty}{+infty}{x_{n}}{ e^( j2pint / T_o)}

در این معادله xn ها ضرایب سری فوریه ی سیگنال (x(t هستند و توسط رابطه ی زیر داده می شوند :

 x_n= 1/T_{o} int{alpha}{alpha+T_o}x(t) e^( -j2pint/T_o) dt

در این رابطه α ثابت دلخواهی است

ولی در اکثر مواقع 0= α و یا 2/α=-To انتخاب مناسبی می باشد.

فرکانس fo=1/To  را فرکانس اصلی سیگنال متناوب یا فرکانس پایه نوسانات

و فرکانس fn=nfo را هارمونیک n ام آن می نامند.

این نوع از سری فوریه ، سری فوریه ی نمایی نامیده شده

و می تواند برای سیگنال های متناوب (x(tبا مقادیر حقیقی یا مختلط به کار برده شود .

به طور کلی ، ضرایب {xn} سری فوریه حتی وقتی که (x(t سیگنالی با مقدار حقیقی است ، اعدادی مختلط اند.

 

در این پست با آموزش کامل سری فوریه با متلب 2017 در خدمت شما عزیزان بودیم.

در ادامه پست هایی در رابطه با اینکه اگر ورودی حقیقی باشد، سری فوریه به چه صورت خواهد بود ؟

تقارن هرمیتی به چه معناست ؟

مباحثی از سری فوریه مثلثاتی راخواهیم داشت. تمامی مباحث سری فوریه جلسات آینده در نرم افزار متلب 2017 شبیه سازی خواهند شد ؛

مثال ها و تمرین های کاربردی مربوط به تک تک مباحث برای یادگیری بهتر و عمیق تر بررسی خواهند شد.

پس منتظر پست های آینده سایت tootik باشید.

10 دیدگاه در “آموزش کامل سری فوریه با متلب 2017

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *

این سایت از اکیسمت برای کاهش هرزنامه استفاده می کند. بیاموزید که چگونه اطلاعات دیدگاه های شما پردازش می‌شوند.

محصولی در سبد خرید شما وجود ندارد