تبدیل فوریه در متلب : دستوری که حتما به آن احتیاج پیدا خواهید کرد!

در سلسله مراتب آموزش درس اصول سیستم های مخابراتی با استفاده از متلب و پس از آموزش های مربوط به سری فوریه و سیگنال های مورد نیاز در سیستم های مخابراتی ؛ در این پست به آموزش تبدیل فوریه در متلب ۲۰۱۷ از مقدماتی تا پیشرفته خواهیم پرداخت .

گام اول در آموزش تبدیل فوریه در متلب ۲۰۱۷ : تعریف تبدیل فوریه :

تبدیل فوریه، که از اسم ریاضیدانِ فرانسوی ژوزف فوریه گرفته شده است، یک تبدیل انتگرالی است

که هر تابع \( x(t)\)  را به یک تابع دیگر   \(X(f)\)  تبدیل می‌کند.

در این صورت، به \(X(f)\) تبدیل فوریهٔ تابع\( x(t)\)  می‌گویند.

حالت خاص تبدیل فوریه، سری فوریه نام دارد و آن زمانی کاربرد دارد که تابع متناوب باشد،

یعنی:\(x(t+T)=x(t)\)   باشد .

پس در واقع تبدیل فوریه برای سیگنال هایی می باشد که متناوب نیستند .

تبدیل فوریه و به همراه آن آنالیز فوریه، در مباحث مختلف فیزیک،

از جمله الکترونیک و الکترومغناطیس (به خصوص در پیغام‌رسانی و مخابرات)

 آکوستیک،

فیزیک امواج

و غیره کاربرد فراوان دارد.

گام دوم در آموزش تبدیل فوریه در متلب ۲۰۱۷ : کاربرد های تبدیل فوریه :

یکی  از کاربردهای تبدیل فوریه ، در تجزیه و تحلیل مدارات مخابراتی و مدارات قدرت است که برای بدست آوردن هارمونیک‌ های پدیدآورنده یک شکل موج استفاده می‌شود.

همچنین در علم دینامیک سازه‌ها و ارتعاشات مکانیکی برای تعیین پاسخ سازه در برابر تحریکات غیر هارمونیک از تبدیلات فوریه برای تبدیل این تحریکات به اجزای هارمونیک استفاده می‌شود. پس از آن می‌توان اقدام به حل معادله دیفرانسیل حرکت سازه نمود.

گام سوم در آموزش تبدیل فوریه در متلب ۲۰۱۷ : فرمول تبدیل فوریه در ریاضی :

در مبحث ریاضیات به ویژه ریاضیات مهندسی و درس های اصول سیستم های مخابراتی  و سیگنال ها و سیستم ها ، فرمول ریاضی تبدیل فوریه به صورت زیر می باشد :

فرمولی که در بالا ذکر شده است ، نشانگر تبدیل فوریه ی تابع  \( x(t) \) می باشد ؛ که با \( X(f) \) مشخص می شود .

در صورتی که بخواهیم معکوس تبدیل فوریه را محاسبه کنیم ، بایستی از فرمول زیر این محاسبه را انجام دهیم :

از فرمول بالا مشخص می شود که معکوس تبدیل فوریه \( X(f) \) برابر با \( x(t) \) می باشد .

گام آخر : آموزش تبدیل فوریه در متلب ۲۰۱۷ :

برای اینکه بخواهیم تبدیل فوریه را در نرم افزار متلب ۲۰۱۷ کد نویسی کنیم ؛ بایستی به صورت زیر این کار را انجام دهیم :

آموزش تبدیل فوریه در متلب را با مثالی ساده شروع می کنیم :

مثال ۱ : محاسبه تبدیل فوریه تابعی نمایی در نرم افزار متلب ۲۰۱۷

تابع نمایی به صورت \( f = exp( -t^2) \) را در نظر بگیرید . برای محاسبه ی تبدیل فوریه ی این تابع بایستی به صورت زیر در نرم افزار متلب ۲۰۱۷ کد نویسی را انجام دهیم :

در صورت اجرای کد بالا در نرم افزار متلب ۲۰۱۷ ، نتیجه ی تبدیل فوریه ی تابع مورد نظر به صورت زیر به دست خواهد آمد :

مثال بالا برای تابعی نمایی بود ، برای تابعی مثلثاتی نیز مثالی با استفاده از نرم افزار متلب ۲۰۱۷ به صورت کامل می پردازیم :

مثال ۲ : محاسبه تبدیل فوریه تابعی مثلثاتی در نرم افزار متلب ۲۰۱۷ :

تابعی به صورت  \( x(t)=sin(2pit) \) در نظر بگیرید :

این تابع را با بازه ی دلخواه مورد نظرمان به صورت زیر در نرم افزار متلب کد نویسی میکنیم :

در صورت اجرای این برنامه در نرم افزار متلب ۲۰۱۷ ، نموداری به صورت زیر خواهیم داشت :

حال برای این سیگنال اگر بخواهیم تبدیل فوریه را کد نویسی کنیم ، به صورت زیر در متلب کد را نوشته تا خروجی تبدیل فوریه را محاسبه کند :

در صورت اجرای کد بالا ، نمودار زیر را خواهیم داشت :

*  در کد برنامه بالا در نرم افزار متلب  از دستور abs استفاده کردیم

به این علت که وقتی تبدیل فوریه را محاسبه می کنیم  نتیجه به صورت عددی مختلط خواهد بود

و برای رسم این عدد مختلط در نرم افزار متلب بایستی از این کد استفاده کنیم تا نمودار تابع تبدیل فوریه در نرم افزار متلب ۲۰۱۷ به سادگی رسم شود .

در این پست به بررسی مقدماتی و پیشرفته تبدیل فوریه در متلب ۲۰۱۷ همراه با مثال هایی کاربردی پرداختیم ؛ در پست های آینده به بررسی تبدیل فوریه های پیوسته (CFT) و تبدیل فوریه های گسسته (DFT) به صورت مقدماتی و پیشرفته مرور خواهیم کرد .