آموزش ریشه گیری در ریاضی دهم : از ریشه یاد بگیرید!

آموزش ریشه گیری در ریاضی دهم : از ریشه یاد بگیرید!

مقدمه ای بر آموزش ریشه گیری در ریاضی دهم

آموزش ریشه گیری در ریاضی دهم از مهمترین مباحث ریاضی در این کلاس است. البته خواندن سایر مباحث مهم ریاضی دهم که در سایت موجود است را به شما پیشنهاد میکنیم. عمل ریشه گیری عکس عمل توان می باشد. این عمل در حل معادلات ریاضی، هندسه، فیزیک، شیمی و خلاصه هر جایی که ردپای ریاضی در میان باشد کاربرد دارد. کسانی که با رادیکال ها و ساده کردن آنها آشنا هستند در بسیاری از مسائل کنکور می توانند از بقیه جلوتر باشند. چون جواب نهایی تمام تست ها به صورت رادیکال ساده شده و گویا شده نوشته می شود. در خود ریاضی، در درسهای حل معادله ، تابع نمایی-لگاریتمی، دنباله های حسابی و هندسی و حتی در هندسه و رابطه فیثاغورس عمل ریشه گیری کاربرد زیادی دارد.

در گفتار های قبل در مورد روابط بین نسبت های مثلثاتی ، آموزش کامل دایره مثلثاتی ، و حل معادلات درجه اول و دوم صحبت کردیم که خواندن آنها را نیز به دانش آموزان عزیز توصیه میکنیم.

ریشه گیری در ریاضی دهم : ریشه دوم

می دانیم 3^2=9 و (-3)^2=9 پس 3 و 3- ریشه های دوم عدد 9 می باشند. اما وقتی می نویسیم sqrt{9} آن ریشه ای که مثبت است را می نویسیم. یعنی sqrt{9}=3 . اگر منظورمان ریشه منفی باشد می نویسیم - sqrt{9}=-3 .

با توجه به اینکه هیچ عدد وقتی به توان دو می رسد، منفی نمی شود، پس اعداد منفی ریشه دوم ندارند. فقط اعداد مثبت و صفر ریشه دوم دارند. یعنی :

آموزش ریشه گیری در ریاضی دهم

آموزش ریشه گیری ریاضی دهم

 

آموزش ریشه گیری در ریاضی دهم : ریشه سوم

می دانیم 3^3=27 . پس ریشه ی سوم 27 ، عدد 3 می باشد. که این مطلب را به این صورت می توان نوشت :

حتما بخوانید:  آموزش ریاضی پایه دهم حل معادله درجه دوم و روشهای آن

ریشه سوم عدد 3

همچنین ( - 3)^3 = -27 . پس :

ریشه سوم آموزش ریشه گیری ریاضی دهم

همانطور که میبنید هر عدد یک ریشه سوم دارد. چه مثبت چه منفی:

ریشه سوم اعداد حقیقی آموزش ریشه گیری در ریاضی دهم

ریشه سوم اعداد مختلف آموزش ریشه گیری در ریاضی دهم

 

پیدا کردن مقدار تقریبی ریشه سوم

حال اگر بخواهیم بدانیم که ریشه سوم 15 تقریباً چه مقداری می شود به این شکل عمل میکنیم. عدد 15 بین دو ریشه سوم کامل 27 و 8 قرار دارد. پس ریشه سوم 15 نیز بین ریشه سوم 27 و 8 ، یعنی 3 و 2 قرار دارد. یعنی :

پیدا کردن ریشه سوم 15

اگر بخواهیم حدس بزنیم تا یک رقم اعشار چقدر می شود نیز به این روش عمل میکنیم. چون 15 فاصله اش تا 8 کمتر است تا 27 ، پس حدس می زنیم 2.4 باشد. یعنی عدد به 2 نزدیکتر باشد. حال اگر 2.4 را به توان 3 برسانیم داریم : 2.4^3 = 13.824

اگر 2.5 را به توان 3 برسانیم می شود : 2.5^3 = 15.625 که از 15 بیشتر است. پس حدسمان تا یک رقم اعشار درست است.

 

ریشه چهارم و پنجم

می دانیم 2^4 = 16 و ( - 2)^4 = 16 . پس 2 و 2- ریشه های چهارم 16 می باشند. ولی وقتی ریشه چهارم 14 را می نویسیم، آن ریشه ای که مثبت است را در نظر میگیریم. یعنی :

ریشه چهارم شانزده آموزش ریشه گیری

وقتی که منفی ریشه چهارم 16 را بنویسیم، ریشه منفی را در نظر میگیریم. یعنی:

آموزش ریشه گیری در ریاضی دهم

پس هر عدد مثبت دو ریشه چهارم دارد. مانند ریشه دوم:

آموزش ریشه گیری

همینطور می دانیم که 2^5 = 32 پس:

آموزش ریشه گیری در ریاضی دهم

که عبارت فوق را ریشه پنجم 32 میخوانیم. و مقدار آن برابر با 2 است. همچنین اگر ( - 2 )^5 = - 32 باشد داریم:

آموزش ریشه گیری در ریاضی دهم

پس هر عدد یک ریشه پنجم دارد. بنابراین به طور کلی هر عدد مثبت دو ریشه زوج دارد که با هم قرینه هستند و هر عدد یک ریشه فرد دارد.

حتما بخوانید:  آموزش ریاضی پایه دهم آموزش دایره مثلثاتی و کاربرد آن

 

ریشه n ام

به طور کلی اگر:

آموزش ریشه گیری در ریاضی دهم

و n یک عدد طبیعی باشد، b را یک عدد ریشه n ام عدد a می نامیم هرگاه:

b به توان n

یعنی:

ریشه n ام a برابر با b

فقط دقت داشته باشیم وقتی n زوج است، رابطه زیر برقرار خواهد بود:

a بزرگتر از صفر

چند مثال از ریشه n ام:

مثال از ریشه گیری

به رابطه زیر دقت کنید:

ریشه چهارم 16

این رابطه را به طور خلاصه می توان به صورت زیر نوشت:

ریشه چهارم 16

و به طور کلی داریم:

اگر n فرد باشد:

اگر n زوج باشد:

ریشه n ام a به توان n

به رابطه ی صحیح زیر دقت کنید:

توان 5 دو در ریشه ی 3

دو طرف رابطه ی فوق باهم برابر هستند. حال در مقایسه با رابطه ی فوق، به رابطه ی زیر دقت کنید که دو طرف آن باهم برابر نیستند:

ریشه ی چهارم منفی 2

دقت به این نکته ضروری است که ریشه ی چهارم 2- یک عبارت بی معنی است. پس به طور کلی داریم:

حالت کلی توان و رادیکال

به شرطی که اگر n زوج و a مثبت باشد.

 

قوانین رادیکال ها

در تمام قوانین رادیکال زیر، هرگاه n زوج باشد، عدد زیر رادیکال مثبت در نظر گرفته می شود تا با معنی باشد.

قوانین رادیکال ها

 

مقایسه ریشه ها

مقایسه ریشه اعداد بین صفر و یک

در مورد اعداد بین صفر و یک مانند 0.5 , {1}/{3} و … می توان گفت که هر چه به توان برسند، کوچکتر می شوند و برعکس. یعنی هرچه در ریشه گیری پیشرفت میکنیم کوچکتر می شوند.

مثال:

مقایسه توان در اعداد بین صفر و یک

یا

مثال از مقایسه ریشه ها

یا

مثال از مقایسه ریشه ها

پس به طور کلی اگر a بین صفر و یک باشد، روابط زیر برقرار است:

مقایسه a در توان های مختلف و زیر رادیکال

پس نتیجه می شود که : هرچه ریشه بیشتر می شود، عدد حاصل بزرگتر می شود.

 

مقایسه ریشه های اعداد بزرگتر از یک

در مورد اعداد بزرگتر از یک هرچه این اعداد را به توان می رسانیم این اعداد بزرگتر و بزرگتر می شوند.

حتما بخوانید:  آموزش ریاضی پایه دهم آموزش حل معادله درجه اول و انواع آن

مقایسه توان ها و ریشه های مختلف 2پس به طور کلی برای a بزرگتر از 1 داریم:

a بزرگتر از یک مقایسه ی توان های مختلفپس هرچه ریشه بیشتر می شود، عدد حاصل کوچکتر می شود.

 

مقایسه ریشه اعداد بین صفر و 1-

در مورد اعداد بین 1- و صفر اگر توان زوج را بخواهیم با توان فرد مقایسه کنیم، چون عر عدد منفی وقتی به توان زوج می رسد مثبت می شود، پس همیشه توان زوج بزرگتر از توان فرد است:

مقایسه توان های مختلف از یک دوم

اما فرض کنید توان هر دو عدد داده شده فرد باشد. همانطور که می دانید در اعداد منفی هر چه عدد از نظر عددی بزرگتر می شود، از نظر مقدار کوچکتر می گردد. مانند:

اعداد منفی از نظر عدد بزرگتر می شوند اما از نظر مقدار کوچکتر می شوند

پس در این اعداد، برعکس اعداد بین صفر و یک، هرچه توان بیشتر باشد، عدد بزرگتر می شود و هرچه ریشه گیری بیشتر شود، عدد کوچکتر خواهد شد.

پس به طور کلی اگر a بین صفر و 1- باشد داریم:

a بین صفر و 1- مقایسه بین توان ها و ریشه گیری

هرچه ریشه بیشتر شود، عدد حاصل کوچکتر می شود.

 

مقایسه ریشه ها در اعداد کوچکتر از 1-

در مورد اعداد کوچکتر از 1- ماندد اعداد بین 0 و 1- توان های زوج همیشه بیشتر از توان های فرد هستند. چراکه مثبت هستند. مانند:

مقایسه توان اعداد کوچکتر از منفی 1

اما در مورد توان های فرد این اعداد هرچه توان بیشتر می شود، اعداد کوچکتر می شود. چون اعداد منفی هرچه از نظر عددی بزرگتر می شوند، از نظر مقدار کمتر می شوند. پس:

مقایسه توان و ریشه گیری اعداد کوچکتر از منفی 1

هرچه ریشه بیشتر می شود، عدد حاصل بزرگتر می شود.

6 دیدگاه در “آموزش ریشه گیری در ریاضی دهم : از ریشه یاد بگیرید!

پاسخی بگذارید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *

این سایت از اکیسمت برای کاهش هرزنامه استفاده می کند. بیاموزید که چگونه اطلاعات دیدگاه های شما پردازش می‌شوند.