آموزش تبدیل لاپلاس در متلب برای توابع مهم

آموزش تبدیل لاپلاس در متلب برای توابع مهم

در پست های قبل از تبدیلات فوریه پیوسته و تبدیلات فوریه گسسته در بررسی مثال هایی از سیگنال ها و سیستم های خطی تغییر ناپذیر بازمان LTI استفاده کردیم . این کار را زمانی می توانستیم انجام دهیم که سیگنال ها به صورت ترکیب خطی نمایی های مختلط نمایش داده می شدند و نمایی های مختلط توابع ویژه ی سیستم های خطی تغییر ناپذیر با زمان هستند . در صورت تعمیم تبدیل فوریه ی پیوسته ، تبدیل لاپلاس را خواهیم داشت . در این پست به بررسی تبدیل لاپلاس در متلب برای توابع مهم را میپردازیم .

گام اول در آموزش تبدیل لاپلاس در متلب : تعریف تبدیل لاپلاس :

تبدیل لاپلاس یکی از تبدیلات انتگرالی بسیار پرکاربرد در ریاضیات محسوب می شود .

همانطوری که در پست مربوط به آموزش کامل سری فوریه با نرم افزار متلب بیان کردیم ، پاسخ ضربه ی h(t) به ورودی دلخواه را به صورت زیر نمایش می دهند :

y(t)=x( t)*h( t)

  =int{t=-infty}{+infty}x(tau)*h( t- tau)d tau

که در رابطه ی بالا  (h(t نشان دهنده ی پاسخ ضربه ی سیستم ، (x(t سیگنال ورودی و (y(t سیگنال خروجی می باشد.

حال با تعمیم همین موضوع برای مبحث لاپلاس داریم :

اگر پاسخ یک سیستم خطی تغییر ناپذیر بازمان دارای پاسخ ضربه یh(t) به ورودی نمایی مختلط e^st به صورت زیر بیان شود :

y(t) = H(s)e^st

و  در این رابطه داشته باشیم :

تبدیل لاپلاس در متلب

اگر برای s مقدار موهومی در نظر بگیریم یعنی s=jw در اینصورت است که انتگرال معادله ی بالا ، تبدیل فوریه ی h(t)  خواهد بود . و همچنین به ازای مقادیر مختلط s ، این انتگرال تبدیل لاپلاس پاسخ ضربه ی h(t) نامیده خواهد شد .

حتما بخوانید:  تبدیل z در متلب ، از صفر تا صد !

پس در حالتی که s مقادیر مختلط را داشته باشد ، معادله ی زیر :

تبدیل لاپلاس در متلب

 

انتگرالی برای تبدیل لاپلاس پاسخ ضربه ی مربوط به  h(t) خواهد بود .

واما اگر سیگنالی که داریم دلخواه باشد ، تابع تبدیل لاپلاس به چه صورتی تعریف خواهد شد ؟

اگر سیگنالی دلخواه داشته باشیم مثل  x(t) در این صورت تبدیل لاپلاس به صورت زیر تعریف خواهد شد :

 

محاسبه تبدیل لاپلاس در متلب

نماد مربوط به تبدیل لاپلاس ، L  می باشد . مثلا گاهی برای سادگی تبدیل لاپلاس را با نماد  L{x(t)} نشان می دهیم .

توجه کنید که تبدیل لاپلاس یک رابطه ی دوطرفه برگشت پذیر است  .

 

گام دوم در آموزش تبدیل لاپلاس در متلب : محاسبات مربوط به تبدیل لاپلاس توابع مهم در نرم افزار متلب :

برای انجام محاسبات مربوط به تبدیل لاپلاس در متلب بایستی از دستور زیر در این نرم افزار استفاده نماییم :

1
laplace(f)

دستور بالا در واقع برای هر تابع دلخواه و با هر ضابطه ای قابل کاربرد است .فقط کافی است که تابع مورد نظر را جهت انجام محاسبات تبدیل لاپلاس در متلب مشخص کنیم و سپس از این دستور برای محاسبه ی تبدیل لاپلاس در متلب استفاده کنیم و برنامه را اجرا کرده تا نتیجه به دست آید .

دستور بالا تبدیل لاپلاس را برای توابع با متغیر دلخواه استفاده میکند . اما اگر خودمان بخواهیم متغییری را معرفی کنیم که با استفاده از آن تبدیل لاپلاس محاسبه شود باید از دستور زیر استفاده کنیم :

1
laplace(f, x, y)

در صورت استفاده از دستور بالا ، نرم افزار متلب تبدیل لاپلاس را به ازای متغیر های x و y که معرفی ومشخص کرده ایم محاسبه خواهد کرد و نتیجه را نمایش می دهد .

حتما بخوانید:  فرآیندهای تصادفی در متلب : آموزش فرآیندهای تصادفی با استفاده از متلب

 

محاسبه ی تبدیل لاپلاس برای توابع دارای تابع ضربه : 

در پست های قبل در مورد تبدیل فوریه ی توابع مهم بررسی هایی را با هم داشتیم ، حال میخواهیم ببینیم که چگونه باید در نرم افزار متلب تبدیل لاپلاس را برای توابعی که تابع ضربه را در خود دارند ، محاسبه کنیم ؟

برای محاسبه ی تبدبل لاپلاس توابعی که دارای تابع ضربه کافی است از دستور زیر در نرم افزار متلب استفاده کنیم :

 

1
2
syms t s
laplace(dirac(t - 2), t, s)

در صورت اجرای کد بالا در نرم افزار متلب ، نتیجه ی محاسبه ی تبدیل لاپلاس برای این تابع دلخواه که دارای تابع ضربه در خود می باشد به صورت زیر خواهد بود :

1
exp(-2*s)

که یک تابع نمایی می باشد .

متغیر های معرفی شده در این مثال t و s هستند که با دستور syms در ابتدای کد بالا آن هارا مشخص کردیم . پس برای معرفی متغیر برای کدنویسی یک موضوع یا مبحث در نرم افزار متلب کافی است که با استفاده از دستور syms و سپس نوشتن متغیر های مورد نظر با یک فاصله از هم ، آن ها را برای نرم افزار متلب تعیین کنیم تا محاسبات به سادگی و برحسب این متغیر های معرفی شده حاصل شوند .

محاسبه ی تبدیل لاپلاس برای توابع دارای تابع پله : 

در پست های قبل در مورد تبدیل فوریه ی توابع مهم بررسی هایی را با هم داشتیم ، حال میخواهیم ببینیم که چگونه باید در نرم افزار متلب تبدیل لاپلاس را برای توابعی که تابع پله را در خود دارند ، محاسبه کنیم ؟

حتما بخوانید:  7 ویژگی سیستم های مخابراتی که لازم است بدانید ! همراه با کد متلب 2017

برای انجام محاسبات مربوط به تبدیل لاپلاس برای توابعی که دارای تابع پله می باشند کافی است از دستور زیر استفاده کنیم :

1
laplace(heaviside(t - pi), t, s)

که در صورت اجرای کد بالا در نرم افزار متلب ، نتیجه به صورت زیر محاسبه خواهد شد :

1
exp(-pi*s)/s

 

 

محاسبه ی معکوس تبدیل لاپلاس در نرم افزار متلب :

تا اینجا با تبدیل لاپلاس آشنا شدیم و نحوه ی محاسبه ی تبدیل لاپلاس در متلب را نیز با هم بررسی کرده و تبدیل لاپلاس برای برخی از توابع مهم را در نرم افزار متلب محاسبه کردیم .

حال می خواهیم بدانیم که برای محاسبه ی معکوس تبدیل لاپلاس در متلب از چه دستوری باید استفاده کنیم ؟

برای محاسبه ی تبدیل لاپلاس در متلب باید از دستور زیر استفاده کنیم :

1
ilaplace(F, s, t)

که دستور بالا در واقع برای انجام محاسبات مربوط به معکوس تبدیل لاپلاس مورد استفاده قرار خواهد گرفت.

در واقع معکوس تبدیل لاپلاس برای یک تابع ، در صورت محاسبه ، خود تابع اصلی را نتیجه خواهد داد .

پس در مواقعی که نیاز به محاسبه و به دست آوردن تابع اصلی داریم باید از معکوس تبدیل لاپلاس استفاده کنیم . که دستور محاسبه ی تبدیل لاپلاس در متلب را در بالا ذکر کردیم .

3 دیدگاه در “آموزش تبدیل لاپلاس در متلب برای توابع مهم

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.