آموزش تبدیل لاپلاس در متلب برای توابع مهم

آموزش تبدیل لاپلاس در متلب برای توابع مهم

در پست های قبل از تبدیلات فوریه پیوسته و تبدیلات فوریه گسسته در بررسی مثال هایی از سیگنال ها و سیستم های خطی تغییر ناپذیر بازمان LTI استفاده کردیم . این کار را زمانی می توانستیم انجام دهیم که سیگنال ها به صورت ترکیب خطی نمایی های مختلط نمایش داده می شدند و نمایی های مختلط توابع ویژه ی سیستم های خطی تغییر ناپذیر با زمان هستند . در صورت تعمیم تبدیل فوریه ی پیوسته ، تبدیل لاپلاس را خواهیم داشت . در این پست به بررسی تبدیل لاپلاس در متلب برای توابع مهم را میپردازیم .

گام اول در آموزش تبدیل لاپلاس در متلب : تعریف تبدیل لاپلاس :

تبدیل لاپلاس یکی از تبدیلات انتگرالی بسیار پرکاربرد در ریاضیات محسوب می شود .

همانطوری که در پست مربوط به آموزش کامل سری فوریه با نرم افزار متلب بیان کردیم ، پاسخ ضربه ی h(t) به ورودی دلخواه را به صورت زیر نمایش می دهند :

y(t)=x( t)*h( t)

  =int{t=-infty}{+infty}x(tau)*h( t- tau)d tau

که در رابطه ی بالا  (h(t نشان دهنده ی پاسخ ضربه ی سیستم ، (x(t سیگنال ورودی و (y(t سیگنال خروجی می باشد.

حال با تعمیم همین موضوع برای مبحث لاپلاس داریم :

اگر پاسخ یک سیستم خطی تغییر ناپذیر بازمان دارای پاسخ ضربه یh(t) به ورودی نمایی مختلط e^st به صورت زیر بیان شود :

y(t) = H(s)e^st

و  در این رابطه داشته باشیم :

تبدیل لاپلاس در متلب

اگر برای s مقدار موهومی در نظر بگیریم یعنی s=jw در اینصورت است که انتگرال معادله ی بالا ، تبدیل فوریه ی h(t)  خواهد بود . و همچنین به ازای مقادیر مختلط s ، این انتگرال تبدیل لاپلاس پاسخ ضربه ی h(t) نامیده خواهد شد .

حتما بخوانید:  اعوجاج در سیستم های مخابراتی : 2 اعوجاج مهم در سیستم های مخابراتی

پس در حالتی که s مقادیر مختلط را داشته باشد ، معادله ی زیر :

تبدیل لاپلاس در متلب

 

انتگرالی برای تبدیل لاپلاس پاسخ ضربه ی مربوط به  h(t) خواهد بود .

واما اگر سیگنالی که داریم دلخواه باشد ، تابع تبدیل لاپلاس به چه صورتی تعریف خواهد شد ؟

اگر سیگنالی دلخواه داشته باشیم مثل  x(t) در این صورت تبدیل لاپلاس به صورت زیر تعریف خواهد شد :

 

محاسبه تبدیل لاپلاس در متلب

نماد مربوط به تبدیل لاپلاس ، L  می باشد . مثلا گاهی برای سادگی تبدیل لاپلاس را با نماد  L{x(t)} نشان می دهیم .

توجه کنید که تبدیل لاپلاس یک رابطه ی دوطرفه برگشت پذیر است  .

 

گام دوم در آموزش تبدیل لاپلاس در متلب : محاسبات مربوط به تبدیل لاپلاس توابع مهم در نرم افزار متلب :

برای انجام محاسبات مربوط به تبدیل لاپلاس در متلب بایستی از دستور زیر در این نرم افزار استفاده نماییم :

1
laplace(f)

دستور بالا در واقع برای هر تابع دلخواه و با هر ضابطه ای قابل کاربرد است .فقط کافی است که تابع مورد نظر را جهت انجام محاسبات تبدیل لاپلاس در متلب مشخص کنیم و سپس از این دستور برای محاسبه ی تبدیل لاپلاس در متلب استفاده کنیم و برنامه را اجرا کرده تا نتیجه به دست آید .

دستور بالا تبدیل لاپلاس را برای توابع با متغیر دلخواه استفاده میکند . اما اگر خودمان بخواهیم متغییری را معرفی کنیم که با استفاده از آن تبدیل لاپلاس محاسبه شود باید از دستور زیر استفاده کنیم :

1
laplace(f, x, y)

در صورت استفاده از دستور بالا ، نرم افزار متلب تبدیل لاپلاس را به ازای متغیر های x و y که معرفی ومشخص کرده ایم محاسبه خواهد کرد و نتیجه را نمایش می دهد .

حتما بخوانید:  7 ویژگی سیستم های مخابراتی که لازم است بدانید ! همراه با کد متلب 2017

 

محاسبه ی تبدیل لاپلاس برای توابع دارای تابع ضربه : 

در پست های قبل در مورد تبدیل فوریه ی توابع مهم بررسی هایی را با هم داشتیم ، حال میخواهیم ببینیم که چگونه باید در نرم افزار متلب تبدیل لاپلاس را برای توابعی که تابع ضربه را در خود دارند ، محاسبه کنیم ؟

برای محاسبه ی تبدبل لاپلاس توابعی که دارای تابع ضربه کافی است از دستور زیر در نرم افزار متلب استفاده کنیم :

 

1
2
syms t s
laplace(dirac(t - 2), t, s)

در صورت اجرای کد بالا در نرم افزار متلب ، نتیجه ی محاسبه ی تبدیل لاپلاس برای این تابع دلخواه که دارای تابع ضربه در خود می باشد به صورت زیر خواهد بود :

1
exp(-2*s)

که یک تابع نمایی می باشد .

متغیر های معرفی شده در این مثال t و s هستند که با دستور syms در ابتدای کد بالا آن هارا مشخص کردیم . پس برای معرفی متغیر برای کدنویسی یک موضوع یا مبحث در نرم افزار متلب کافی است که با استفاده از دستور syms و سپس نوشتن متغیر های مورد نظر با یک فاصله از هم ، آن ها را برای نرم افزار متلب تعیین کنیم تا محاسبات به سادگی و برحسب این متغیر های معرفی شده حاصل شوند .

محاسبه ی تبدیل لاپلاس برای توابع دارای تابع پله : 

در پست های قبل در مورد تبدیل فوریه ی توابع مهم بررسی هایی را با هم داشتیم ، حال میخواهیم ببینیم که چگونه باید در نرم افزار متلب تبدیل لاپلاس را برای توابعی که تابع پله را در خود دارند ، محاسبه کنیم ؟

حتما بخوانید:  مدولاسیون SSB در متلب : چگونگی شبیه سازی مدولاسیون SSB در نرم افزار متلب

برای انجام محاسبات مربوط به تبدیل لاپلاس برای توابعی که دارای تابع پله می باشند کافی است از دستور زیر استفاده کنیم :

1
laplace(heaviside(t - pi), t, s)

که در صورت اجرای کد بالا در نرم افزار متلب ، نتیجه به صورت زیر محاسبه خواهد شد :

1
exp(-pi*s)/s

 

 

محاسبه ی معکوس تبدیل لاپلاس در نرم افزار متلب :

تا اینجا با تبدیل لاپلاس آشنا شدیم و نحوه ی محاسبه ی تبدیل لاپلاس در متلب را نیز با هم بررسی کرده و تبدیل لاپلاس برای برخی از توابع مهم را در نرم افزار متلب محاسبه کردیم .

حال می خواهیم بدانیم که برای محاسبه ی معکوس تبدیل لاپلاس در متلب از چه دستوری باید استفاده کنیم ؟

برای محاسبه ی تبدیل لاپلاس در متلب باید از دستور زیر استفاده کنیم :

1
ilaplace(F, s, t)

که دستور بالا در واقع برای انجام محاسبات مربوط به معکوس تبدیل لاپلاس مورد استفاده قرار خواهد گرفت.

در واقع معکوس تبدیل لاپلاس برای یک تابع ، در صورت محاسبه ، خود تابع اصلی را نتیجه خواهد داد .

پس در مواقعی که نیاز به محاسبه و به دست آوردن تابع اصلی داریم باید از معکوس تبدیل لاپلاس استفاده کنیم . که دستور محاسبه ی تبدیل لاپلاس در متلب را در بالا ذکر کردیم .

3 دیدگاه در “آموزش تبدیل لاپلاس در متلب برای توابع مهم

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.