آموزش مثلثات از ابتدا را اینجا یاد بگیرید!

آموزش مثلثات از ابتدا را اینجا یاد بگیرید!

آموزش مثلثات از ابتدا

اهمیت مثلثات

در جلسات قبل در مورد حل معادلات درجه اول و درجه دوم صبحت کردیم. در این گفتار با آموزش مثلثات در ریاضی پایه دهم و به طور کلی با آموزش مثلثات از ابتدا در خدمت شما عزیزان هستیم. اما لازم است پیش از ورود به این بحث، چند کلمه ای در مورد اهمیت آن صحبت کنیم.

نسبتهای مثلثاتی و کلاً مثلثات یکی از مفاهیم پایه ای ریاضیات می باشد. این شاخه از ریاضیات در تمام علوم مهندسی و ریاضی، دریایی و هوایی و … کاربرد فراوان دارد. به طوریکه اگر مفهوم مثلثات را از این علوم بگیریم، این علوم ناقص خواهند شد.

تاریخچه مثلثات

برای بررسی آموزش مثلثات از ابتدا ، بهتر از با تاریخچه آن آشنایی مختصری پیدا کنیم. در کتیبه های سنگی به دست آمده مربوط به سه هزار سال پیش از میلاد، کاربرد مثلثات دیده شده است. با توجه به این موضوع معلوم میشود پیشینیان با مفاهیم مثلثات آشنا بوده اند اما بیشترین کار را در زمینه مثلثات به طور منسجم و کامل به خواجه نصیرالدین طوسی نسبت داده اند. جالب است بدنید اسامی نسبتهای مثلثاتی نیز را خواجه نصیرالدین طوسی برگزیده بود که اول به عربی و بعد به فرانسه ترجمه شده و واژه های امروزی که مصطلح میباشند را بوجود آورده است.

حتما بخوانید:  آموزش ریاضی پایه دهم آموزش دایره مثلثاتی و کاربرد آن

نام قدیم در فارسینام عربینام فرانسهنماد فعلی
گریبانجَیبسینوسsin
گریبان پُرجَیب تمامکسینوسcos
سایهظل - ظل معکوستانژانتtan
سایه پرظل تمام - مستویکتانژانتcot
برندهقاطع، قطر ظلسکانتsec
برنده پُرقاطع تمامکسکانتcosec

 

معرفی نسبتهای مثلثاتی

ریاضی دانان از دیرباز به این پی بردند که در مثلثهای متشابه (زاویه های برابر دارند) نسبت اضلاع به هم برابر است. پس از این خاصیت استفاده کردند. اگر در مثلثی نسبت اضلاع و بعضی از زاویه ها را داشته باشیم، می توانیم بقیه ضلعها و زاویه ها را پیدا کنیم. چون هر بار برای راحت تر به کار بردن نسبت ها برا آنها است گذاشتند و ابتدا نسبتهای مثلثاتی را در مثلث قائم الزاویه تعریف کردند.

مثلثات

\( \Large sin \theta = \frac {AB}{BC} \)

\( \Large cos \theta = \frac {AC}{BC} \)

\( \Large tan \theta = \frac {AB}{AC} \)

\( \Large cot \theta = \frac {AC}{AB} \)

 

جالب اینجاست که همانطور که گفتیم، تمام مثلثهای متشابه دارای نسبتهای برابرند. وقتی میگوییم \( \Large sin 30 = \frac{1}{2} \) یعنی در تمام مثلثهای قائم الزاویه ای که یک زاویه ۳۰ درجه دارند، نسبت ضلع مقابل به وتر آنها \( \Large \frac {1}{2} \) میشود. این مطلب را قبلاً هم با این عنوان آموخته ایم که ضلغ مقابل به زاویه ۳۰ درجه، نصف وتر است.

و در حالت برعکس نیز این مسئله برقرار است. یعنی اگر در مثلثی نسبت ضلع مقابل به وتر یک زاویه \( \Large \frac {1}{2} \) باشد، نتیجه میگیریم که زاویه ۳۰ درجه است.

حتما بخوانید:  آموزش ریاضی پایه دهم آموزش حل معادله درجه اول و انواع آن

سه زاویه اصلی و مهم در مثلثات که همه دانش آموزان باید نسبتهای مثلثاتی آنها را به خاطر داشته باشند، زوایای زیر هستند:

  • ۳۰
  • ۴۵
  • ۶۰

نسبتهای مثلثاتی زوایای ۳۰ و ۶۰

نسبتهای مثلثاتی 30 و 60 درجه

\( \LARGE AH^2 = 1 – \frac{1}{4} = \frac{3}{4}  \Rightarrow AH = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

یک مثلث متساوی الاضلاع با ضلع ۱ در نظر بگیرید. ذکر این نکته ضروری است که طول ضلع را با هر اندازه ای در نظر بگیرید روی نتایج نهایی تاثیری ندارد. در اینجا برای

راحتی کار طول ضلع را ۱ در نظر گرفتیم. اگر ارتفاع یکی از اضلاع این مثلث را در نظر بگیریم، با توجه به اینکه در مثلث متساوی الاضلاع ارتفاع و میانه و نیسماز باهم برابر هستند و زاویه ها در مثلث متساوی الاضلاع ۶۰ درجه است، پس دو مثلث قائم الزاویه داریم با زاویه های ۳۰ و ۶۰ درجه. که اگر ارتفاع این مثلث را به دست آوریم، برابر با \( \Large \frac{\sqrt{3}}{2} \) می شود. اگر نسبتهای مثلثاتی را برای یکی از این مثلثها بنویسیم داریم:

نسبت های مثلثاتی

موضوع جالبی که از این تمرین به دست می آید اینست که زاویه های که باهم متمم هستند، سینوسِ یکی، با کسینوس دیگری و تانژانتِ یکی با کتانژانت دیگری برابر است.

یعنی داریم :

\( \Large sin \theta = cos(90 – \theta ) \)

حتما بخوانید:  آموزش ریاضی پایه دهم حل معادله درجه دوم و روشهای آن

\( \Large tan \theta = cot(90 – \theta ) \)

بعنوان مثال :

\( \Large sin 20 = cos 70 \)

\( \Large tan 10 = cot 80 \)

 

نسبتهای مثلثاتی زاویه ۴۵ درجه

نسبتهای مثلثاتی زاویه 45 درجه

برای بدست آوردن نسبتهای مثلثاتی زاویه ۴۵ درجه یک مربع به طول ضلع ۱ در نظر میگیریم و یکی از قطرهای آن را رسم کنیم. با توجه به اینکه قطر در مربع نیمساز زاویه ها هم می باشد، مثلثی با دو زاویه ۴۵ درجه داریم که طول قطر آن \( \Large \sqrt{2} \) می باشد. پس داریم:

\( \Large sin 45 = \frac {sqrt{2}}2 \)      \( \Large cos 45 = {sqrt{2}}/2 \)

\( \Large tan 45 = 1 \)      \( \Large cot 45 = 1 \)

در این گفتار به آموزش مثلثات از ابتدا پرداختیم. در جلسات بعدی با مطالب کاربردی دیگری از آموزش ریاضیات پایه دهم با ما همراه باشید.

۱۷ دیدگاه در “آموزش مثلثات از ابتدا را اینجا یاد بگیرید!

  • ممنون از اینکه مطلب رو خوب و قابل فهم توضیح دادین ولی یک جدول یک مشکل داره تانژانت ۳۰، سینوس و کسینوس ۴۵ و کتانژانت ۶۰ درجه اشتباه درج شده است و نیاز به تصحیح دارد.

    • ضمن عرض سلام و تشکر بابت مطالعه ی این مطلب از سایت ما، روابطی که فرمودید بررسی شد و هیچ کدام مشکلی نداشت. موفق و پیروز باشید

    • با هوش این اعداد کاملا درست هستند!! با ماشین حساب هم بزنی درست در میاد، منتها این اعداد که شما میگی اشتباه هست!!! به این دلیل اشتباه(به نظر شما) به چشم میاد که در اصل مثلا در تانژانت ۳۰ باید یک بروی رادیکال سه باشه، ولی چون در ریاضیات میگن رادیکال نباید در مخرج قرار بگیره کل کسر در عبارت رادیکال سه بروی رادیکال سه ضرب میشه و رادیکال سه مخرج به سه تبدیل میشه و یک صورت به رادیکال سه!! که در حقیقت جواب عدد یکسان هستش، با ماشین حساب درستی مطلب رو بسنج لطفا!!!

  • سلام. من مفهوم سینوس وکوسینوس صفر درجه رو درک نمی کنم!… وقتی زاویه صفر درجه هست چرا باید سینوس و کوسینوس اون رو بدست اورد، در صورتیکه ئر حالت صفر درجه مثلثی تشکیل نمیشه که بشه براش نسبت سینوس وکوسینوس تعریف کرد؟؟

    • ضمن عرض سلام و احترام
      خوشحالیم که براتون مفید واقع شده
      و تشکر بابت انرژی خوب شما
      موفق و پیروز باشید

    • سلام عرض شد
      وقت شما بخیر
      خیلی خوشحالیم که مفید بوده براتون. به زودی یه پروژه بزرگ رو در زمینه آموزش ریاضی استارت میزنیم. گوش به زنگ باشید!

  • یادش بخیر سال اول دبیرستان بودم و دبیر ریاضیمون ازم خواست برای کلاس جدولی که داده طراحی کنم حتی یادمه که بجای عبارت تعریف نشده علامت بی نهایت گذاشته بودم و خیلی از بچه ها مشکل داشتن باهاش،سال ها از اون ماجرا میگذره و الان اون جدول رو اینجا دیدم!خوشحال شدم فکر نمیکردم یه روزی اصلا چنین اتفاقی بیفته و یه جدول ساده که من فقط جمع آوریش کردم بتونه به بقیه کمک کنه.
    امیدوارم موفق باشید.
    پارسا صادقی

    • ضمن عرض سلام
      محتوای این صفحه تماما توسط دبیر ریاضی مجموعه با بیش از ۳۰ سال سابقه تدریس جمع آوری شده و خوشحالیم که خواندن این مطلب برای شما تداعی کننده خاطرات گذشته و مفید بوده است.
      موفق و پیروز باشید.

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *

این سایت از اکیسمت برای کاهش هرزنامه استفاده می کند. بیاموزید که چگونه اطلاعات دیدگاه های شما پردازش می‌شوند.

-->