آموزش ریاضی پایه دهم آموزش دایره مثلثاتی و کاربرد آن

آموزش ریاضی پایه دهم آموزش دایره مثلثاتی و کاربرد آن

در ادامه سلسله آموزش های ریاضی پایه دهم ، و بعد از اشاره حل معادلات درجه اول و درجه دوم و همچنین آموزش مثلثات از ابتدا ، در این پست قصد داریم با آموزش دایره مثلثاتی مطالب مفیدی را به شما عزیزان ارائه دهیم.

 

اولین گام برای آموزش دایره مثلثاتی : تعریف دایره مثلثاتی

دایره مثلثاتی دایره ای به شعاع یک واحد می باشد که مرکز آن روی مبدا مختصات قرار دارد. محورهای مختصات قطرهای آن خواهند بود. در دایره مثلثاتی نقطه ای که دایره مثلثاتی سمت مثبت محور طولها را قطع میکند ، مبدا در نظر میگیریم (نقطه ی A در شکل).

دایره مثلثاتی تعریف دایره مثلثاتی

 

زاویه استاندارد در دایره مثلثاتی

زاویه ای که ضلع ابتدایی آن روی جهت مثبت محور xها قرار داشته باشد و ضلع انتهایی آن خلاف عقربه ساعت (پادساعتگرد) حرکت کند و به اندازه  \( \Large \theta \) دوران کند، با علامت مثبت نوشته می شود. این دوران می تواند تا بی نهایت ادامه داشته باشد. اگر دوران هم جهت با عقربه های ساعت (ساعتگرد) صورت گیرد، زاویه مقدار دوران با علامت منفی نمایش داده می شود.

زاویه استاندارد در دایره مثلثاتی

پس در دایره مثلثاتی مقدار زاویه در بازه \( (- \infty , \infty ) \) قزار دارد. چون مقدار دوران تا بی نهایت از دو جهت ادامه خواهد داشت.

 

زاویه 120 درجه

مثلاً زاویه 120 درجه روی دایره مثلثاتی به شکل زیر نمایش داده میشود. پس انتهای ضلغ زاویه 120 درجه در ربع دوم قرار دارد.

دایره مثلثاتی زاویه 120 درجه

زاویه 210 – درجه

پس انتهای ضلغ زاویه 210- نیز در ربع دوم قرار دارد.

زاویه منقی 210 درجه دایره مثلثاتی

زاویه های مرزی

همانطور که در شکل زیر میبینید، اگر خلاف عقربه های ساعت (پادساعتگرد) حرکت کنیم، از صفر درجه شروع میشود. مرز بین ربع اول و دوم زاویه ی 90 درجه می شود. مرز ربع دوم و سوم نیز زاویه 180 درجه است. همچنین مرز بین ربع سوم و چهارم نیز 270 درجه می باشد. وقتی یک دور کامل بزنیم و به جای اول برمیگردیم، به اندازه 360 درجه دوران کرده ایم.

حتما بخوانید:  آموزش ریاضی پایه دهم حل معادله درجه دوم و روشهای آن

زوایای مرزی دایره مثلثاتی

حال اگر هم جهت با عقربه های ساعت دوران کنیم زاویه های مرزی به شکل زیر خواهد بود.

جهت چرخش منفی زوایای مرزی در دایره مثلثاتی

با توجه به این متلب داریم :

زوایای مرزی در دایره مثلثاتی

علامت نسبت های مثلثاتی در هر ربع

با توجه به اینکه در دایره مثلثاتی \( \Large cos \theta = x , sin \theta = y \) است، پس علامت نسبتهای مثلثاتی در ربع های مختلف با هم متفاوت است. و داریم :

علامت نسبتهای مثلثاتی در دایره مثلثاتی

برای بخاطر سپاری علامت نسبتهای مثلثاتی می توانید که از کلید واژه های هستک استفاده کنید:

هستک در دایره مثلثاتی

که به ترتیب در هر ربع نسبتهایی که مثبت هستند را نشان میدهد.

 

رابطه بین دایره مثلثاتی و نسبتهای مثلثاتی

رابطه بین دایره مثلثاتی و نسبتهای مثلثاتی

از مبدإ دایره (نقطه A) روی محیط دایره خلاف جهت عقربه های ساعت به اندازه \( \theta \) دوران میکنیم تا به نقطه B برسیم. فرض کنید مختصات این نقطه \( (x,y) \) باشد. اگر از این نقطه به محور x ها عمود کنیم، مثلث OAB یک مثلث قائم الزاویه خواهد بود. به این صورت که \( \Large OH = x \) و \( \Large HB = y \) خواهند بود. سپس اگر نسبتهای مثلثاتی زاویه \( \Large \theta \) را بنویسیم، خواهیم داشت:

\( \Large sin \theta = \frac{y}{1} = y \)

\( \Large cos \theta = \frac{x}{1} = x \)

\( \Large tan \theta = \frac {y}{x} \)

\( \Large cot \theta = \frac {x}{y} \)

از این مسئله در می یابیم که وقتی روی دایره مثلثاتی دوران میکنیم و به یک نقطه با مختصات \( \Large (x,y) \) می رسیم، y برابر است با سینوس مقدار دوران. همچنین x برابر است با کسینوس مقدار دوران. در مورد تانژانت و کتانژانت نیز میتوان گفت که نسبت عرض به طول با tan مقدار دوران برابر است.

با توجه به این مطلب می توانیم اندازه نسبتهای مثلثاتی زوایای مختلف را بدست آوریم:

اندازه ی نسبتهای مثلثاتی زوایای مختلف در دایره مثلثاتی

به راحتی از روی دایره مثلثاتی نسبتهای مثلثاتی مرزی را می توانیم پیدا کنیم. مثلاً:

\( \Large sin 90 = 1 \)

\( \Large tan 180 = \frac {0}{-1} = 0 \)

\( \Large cot 360 = \frac {-1}{0} = \) تعریف نشده

حتما بخوانید:  روابط بین نسبت های مثلثاتی : 8 رابطه که برای دانش آموزان پایه دهم واجب است!

و در کل داریم:

مقادیر مثلثاتی در دایره مثلثاتی

با توجه به مطالب بالا به محور طولها در دایره مثلثاتی محور کسینوس ها و به محور عرضها محور سینوسها می گویند.

 

محور های نسبت های مثلثاتی در دایره مثلثاتی

اگر از مبدأ دایره مثلثاتی (نقطه A) موازی محور سینوسها یک محور بکشیم، به این محور ، محور تانژانتها گویند که مانند محور سینوس ها بالا مثبت و پایین منفی می باشد. اگر از نقطه B موازی محور طولها یک محور بکشیم، به این محور، محور کتانژانتها می گویند که سمت راست مثبت و سمت چپ منفی می باشد. اگر ضلع انتهایی \( \Large \theta \) را امتداد دهیم، هرجا این محورها را قطع کند از مبدأ تا آن نقطه مقدار تانژانت و کتانژانت را نشان می دهد. مانند شکل زیر که در آن:

\( \Large tan \theta =AH \)

\( \Large cot \theta = BH \prime \)

محورهای نسبتهای مثلثاتی در دایره مثلثاتی

می باشد که هر دو مثبت هستند. اگر زاویه در ربع دوم یا جهارم باشد نیز به صورت زیر نشان داده می شود.

 

 

ناحیه های مثلثاتی

\( \Large tan \theta =AH \)                                                         که هر دو منفی هستند

\( \Large cot \theta = BH \prime \)

نسبتهای مثلثاتی در دایره مثلثاتی

\( \Large tan \theta =AH \)                                                         هر دو مثبت

\( \Large cot \theta = BH \prime \)

علامت نسبتهای مثلثاتی در دایره مثلثاتی

\( \Large tan \theta =AH \)                                                         هر دو منفی

\( \Large cot \theta = BH \prime \)

مقایسه نسبتهای مثلثاتی

با استفاده از دایره مثلثاتی به راحتی می توان مقدار دو نسبت مثلثاتی را با هم مقایسه کرد:

حتما بخوانید:  آموزش مثلثات از ابتدا را اینجا یاد بگیرید!

\( \Large sin 40 > sin 210 \)                                                         مثلاً

در مثال بالا کافی است ابتدا مقدار این دو زاویه را در دایره پید اکنیم. چون هر دو سینوس هستند به محور عرضها متصل میکنیم. همانطور که در شکل زیر می بینید  \( \Large sin 40 \) مثبت و \( \Large sin 210 \) منفی است. پس \( \Large sin 40 \) بزرگتر است.

مقایسه دو زاویه در دایره مثلثاتی

یک مثال دیگر

\( \Large cos 120 >  cos 150 \)

برای مقایسه دو نسبت، کسینوس آنها را به محور کسینوس ها یا همان طولها وصل میکنیم. در این مثال چون هر دو منفی هستند، پس آنکه از نظر اندازه کوچکتر است، از نظر مقدار بزرگتر است. \( \Large OH > OH \prime \) . پس \( \Large cos 120 \) بزرگتر از \( \Large cos 150 \) .

 

پیدا کردن نسبت های مثلثاتی از روی یکی از نسبت ها

یکی دیگر از استفاده های نسبت های مثلثاتی این است که اگر یکی از نسبت های sin یا cos را داشته باشیم، سایر نسبتهای مثلثاتی را می توان بدتس آورد. چون در دایره مثلثاتی داریم:

پیدا کردن نسبتهای مثلثاتی در دایره مثلثاتی

\( \Large x^2 + y^2 =1 \)    \( \Large \Rightarrow \)        \( \Large x^2 = 1 – y^2\)

                                                                                                                 \( \Large y^2 = 1 – x^2\)

که مقدار x همان مقدار \( \Large cos \theta \) و مقدار y همان مقدار \( \Large sin \theta \) است.

27 دیدگاه در “آموزش ریاضی پایه دهم آموزش دایره مثلثاتی و کاربرد آن

پاسخی بگذارید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *

این سایت از اکیسمت برای کاهش هرزنامه استفاده می کند. بیاموزید که چگونه اطلاعات دیدگاه های شما پردازش می‌شوند.